Wie wird eine periodische Zahl zum Bruch?
Jeder Bruch lässt sich als Dezimalzahl schreiben, die entweder abbricht oder sich periodisch wiederholt. 1/3 ergibt 0,333..., 1/7 die Ziffernfolge 0,142857142857... Umgekehrt entspricht jede periodische Dezimalzahl genau einem Bruch. Der Rechner findet diesen Bruch und kürzt ihn vollständig.
Die Periode ist der Teil, der sich endlos wiederholt; man kennzeichnet sie mit einem Strich über den Ziffern oder mit Klammern. Steht zwischen Komma und Periode noch eine Ziffernfolge, die sich nicht wiederholt, spricht man von einer Vorperiode. 2,1363636... hat den ganzzahligen Teil 2, die Vorperiode 1 und die Periode 36, geschrieben 2,1(36).
Rein periodische Zahlen ohne Vorperiode lassen sich besonders leicht umwandeln: Die Periode kommt in den Zähler, in den Nenner so viele Neunen, wie die Periode Stellen hat. 0,(3) = 3/9 = 1/3, 0,(27) = 27/99 = 3/11. Bei einer Vorperiode wird der Nenner zusätzlich mit 10 je Stelle der Vorperiode multipliziert und vom Zähler die Vorperiode abgezogen.
Herleitung und Sonderfälle
Die Formel lässt sich mit einem einfachen Trick herleiten. Für x = 0,333... gilt 10x = 3,333... Zieht man x ab, verschwindet die Periode: 9x = 3, also x = 3/9 = 1/3. Bei einer zweistelligen Periode multipliziert man mit 100, bei drei Stellen mit 1.000. Mit Vorperiode verschiebt man zuerst das Komma hinter die Vorperiode und rechnet dann genauso.
Ein bekannter Sonderfall ist 0,(9). Nach der Formel ergibt sich 9/9 = 1. Die Zahl 0,999... ist also nicht knapp unter 1, sondern genau 1. Ebenso ist 0,4(9) dasselbe wie 0,5. Solche Darstellungen entstehen, weil manche Zahlen zwei Dezimaldarstellungen haben, eine abbrechende und eine mit Neunerperiode.
Ob ein gekürzter Bruch eine abbrechende oder periodische Dezimalzahl ergibt, hängt nur vom Nenner ab. Enthält er außer 2 und 5 keine weiteren Primfaktoren, bricht die Dezimalzahl ab, etwa 3/8 = 0,375. Kommen andere Primfaktoren vor, entsteht eine Periode. Eine Vorperiode entsteht, wenn der Nenner zusätzlich die Faktoren 2 oder 5 enthält, wie bei 1/6 = 0,1(6).
Abbrechende Dezimalzahlen und Brüche rechnet der Bruch-Dezimal-Rechner ineinander um, mit Brüchen rechnet der Bruchrechner. Den größten gemeinsamen Teiler zum Kürzen zeigt der ggT-kgV-Rechner.
Tipps und typische Fehler
Brüche finden.
- Neunen: Im Nenner.
- Vorperiode: Abziehen.
- Kürzen: Mit ggT.
- Probe: Dividieren.
Weitere Rechner: Mathe & Formeln
Häufige Fragen
Wie schreibe ich 0,333... als Bruch?
0,(3) = 3/9 = 1/3.
Ist 0,999... gleich 1?
Ja, 0,(9) = 9/9 = 1; es handelt sich um zwei Schreibweisen derselben Zahl.
Was ist eine Vorperiode?
Die Ziffern zwischen Komma und Periode, die sich nicht wiederholen, etwa die 1 in 0,1(6).
Ist jede periodische Zahl rational?
Ja, jede periodische Dezimalzahl lässt sich als Bruch zweier ganzer Zahlen schreiben.
Wie lang kann eine Periode sein?
Höchstens um eins kürzer als der Nenner des gekürzten Bruchs.
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