Wann gilt die hypergeometrische Verteilung?
Die hypergeometrische Verteilung beschreibt, wie viele Treffer man erhält, wenn man aus einer endlichen Menge zieht, ohne zurückzulegen. Das klassische Beispiel ist das Lotto: Aus 49 Kugeln werden 6 gezogen, und auf Ihrem Schein stehen 6 Zahlen, also 6 Treffer unter 49. Wie wahrscheinlich sind genau drei Richtige?
Weil gezogene Kugeln nicht zurückgelegt werden, ändert sich die Trefferwahrscheinlichkeit mit jeder Ziehung. Das unterscheidet die hypergeometrische Verteilung von der Binomialverteilung, bei der jeder Versuch dieselbe Wahrscheinlichkeit hat. Die Berechnung zählt deshalb Kombinationen: Auf wie viele Arten lassen sich k Treffer aus M und die übrigen Kugeln aus den Nieten wählen, im Verhältnis zu allen möglichen Ziehungen?
Weitere Anwendungen sind die Qualitätskontrolle, bei der aus einer Lieferung eine Stichprobe geprüft wird, Kartenspiele, bei denen man die Chance auf bestimmte Karten auf der Hand berechnet, und Stichproben in der Statistik. Der Rechner zeigt Einzel- und kumulierte Wahrscheinlichkeiten, die Chance als 1 zu x sowie Erwartungswert und Standardabweichung.
Beispiele und Abgrenzung
In der Qualitätskontrolle zieht man etwa 20 Teile aus einer Lieferung von 500, in der 10 fehlerhaft sind. Der Rechner zeigt, wie wahrscheinlich es ist, dass die Stichprobe kein einziges fehlerhaftes Teil enthält: Mit N = 500, M = 10, n = 20 und k = 0 sind das gut 66 Prozent. Eine kleine Stichprobe übersieht Fehler also oft. Größere Stichproben senken dieses Risiko.
Ist die Grundgesamtheit sehr groß im Vergleich zur Stichprobe, ändert das Nichtzurücklegen kaum etwas, und die Binomialverteilung mit p = M ÷ N liefert fast dieselben Werte. Als Faustregel reicht die Binomialverteilung, wenn die Stichprobe weniger als fünf Prozent der Grundgesamtheit umfasst. Bei kleinen Mengen wie Lotto oder Kartenspielen sollte man exakt hypergeometrisch rechnen.
Die Standardabweichung enthält den Korrekturfaktor (N − n) ÷ (N − 1). Er sorgt dafür, dass die Streuung kleiner ist als beim Ziehen mit Zurücklegen. Zieht man alle Elemente, ist die Trefferzahl sicher, und die Streuung wird null. Erwartungswert und Wahrscheinlichkeiten sind Rechenwerte; sie sagen nichts über einzelne Ziehungen voraus.
Die Gewinnchancen für alle Gewinnklassen zeigt der Lotto-Rechner, die Zahl möglicher Kombinationen der Kombinatorik-Rechner. Für Versuche mit Zurücklegen nutzen Sie den Binomialverteilung-Rechner.
Tipps und typische Fehler
Ohne Zurücklegen.
- N: Alle Elemente.
- M: Treffer darin.
- n: Ziehungen.
- Groß: Binomial reicht.
Weitere Rechner: Mathe & Formeln
Häufige Fragen
Wie groß ist die Chance auf drei Richtige im Lotto?
Bei 6 aus 49 etwa 1,77 Prozent, also rund 1 zu 57.
Was ist der Unterschied zur Binomialverteilung?
Die hypergeometrische Verteilung gilt beim Ziehen ohne Zurücklegen, die Binomialverteilung bei gleichbleibender Wahrscheinlichkeit.
Wofür steht C(n, k)?
Für den Binomialkoeffizienten, die Zahl der Möglichkeiten, k Elemente aus n auszuwählen.
Was ist ein Urnenmodell?
Ein Gedankenmodell, bei dem Kugeln aus einer Urne gezogen werden, um Zufallsexperimente zu beschreiben.
Wie berechne ich die Chance auf ein Ass beim Kartenspiel?
Mit N = 52 Karten, M = 4 Assen, n = Handkarten und k = gewünschte Asse.
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