Wie berechnet man den Abstand zu einer Geraden?
Der Abstand eines Punktes von einer Geraden ist die kürzeste Verbindung zwischen beiden. Sie verläuft immer senkrecht zur Geraden und heißt Lot. Der Punkt, in dem das Lot auf die Gerade trifft, ist der Lotfußpunkt. Jede andere Verbindung vom Punkt zur Geraden ist länger, wie die Hypotenuse in einem rechtwinkligen Dreieck.
Der Rechner arbeitet mit Vektoren. Die Gerade wird durch einen Aufpunkt A und einen Richtungsvektor u beschrieben. Der Abstand ergibt sich aus der Fläche des Parallelogramms, das u und der Vektor von A nach P aufspannen, geteilt durch die Länge von u. Den Lotfußpunkt erhält man, indem man den Vektor von A nach P auf die Richtung der Geraden projiziert.
Sie können die Gerade auf zwei Arten angeben: durch zwei Punkte A und B oder durch die Gleichung y = mx + n. Senkrechte Geraden wie x = 2 lassen sich nur über zwei Punkte eingeben, weil sie keine Steigung haben. Der Rechner gibt zusätzlich die Geradengleichung aus und zeigt, auf welcher Seite der Geraden der Punkt liegt.
d = |uₓ × (p_y − a_y) − u_y × (pₓ − aₓ)| ÷ √(uₓ² + u_y²); für y = mx + n: d = |m × pₓ − p_y + n| ÷ √(m² + 1)
Anwendungen und Varianten
Die Hessesche Normalform ist ein anderer Weg zum selben Ergebnis. Man schreibt die Gerade als ax + by + c = 0, teilt durch die Länge des Normalenvektors √(a² + b²) und setzt den Punkt ein. Der Betrag des Ergebnisses ist der Abstand, das Vorzeichen zeigt die Seite. Für y = mx + n ist a = m, b = −1 und c = n.
Im Alltag begegnet die Aufgabe beim Vermessen: Wie weit steht ein Baum von einer Grundstücksgrenze entfernt, wie groß ist der Abstand eines Gebäudes zur Straßenachse? In der Computergrafik prüft man damit, ob ein Mausklick nahe genug an einer Linie liegt, und in der Navigation, wie weit ein Fahrzeug von der geplanten Route abweicht.
Im dreidimensionalen Raum wird der Abstand eines Punktes von einer Geraden mit dem Kreuzprodukt berechnet, das Prinzip ist dasselbe. Dieser Rechner arbeitet in der Ebene mit zwei Koordinaten. Für Abstände zu Ebenen im Raum braucht man die Hessesche Normalform der Ebene.
Die Gleichung einer Geraden aus zwei Punkten bestimmt der Geradengleichung-Rechner, den Abstand zweier Punkte der Rechner für den Abstand zweier Punkte. Wo sich zwei Geraden schneiden, zeigt der Schnittpunkt-Rechner.
Tipps und typische Fehler
Abstände messen.
- Lot: Immer senkrecht.
- Senkrechte: Zwei Punkte.
- Probe: Lotfußpunkt prüfen.
- Einheit: Gleich wählen.
Weitere Rechner: Mathe & Formeln
Häufige Fragen
Was ist der Lotfußpunkt?
Der Punkt auf der Geraden, an dem das senkrechte Lot vom Punkt aus auf die Gerade trifft.
Wie gebe ich eine senkrechte Gerade ein?
Über zwei Punkte mit gleichem x-Wert, etwa A(2 | 0) und B(2 | 3).
Was bedeutet Abstand 0?
Der Punkt liegt auf der Geraden.
Was ist die Hessesche Normalform?
Eine Geradengleichung mit normiertem Normalenvektor, in die man einen Punkt einsetzt, um den Abstand zu erhalten.
Gilt die Rechnung auch im Raum?
Das Prinzip ja, im Raum braucht man aber das Kreuzprodukt dreidimensionaler Vektoren.
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