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Volumen und Oberfläche eines Ellipsoids

Tragen Sie die drei Halbachsen ein, also die halben Durchmesser in Länge, Breite und Höhe. Der Rechner zeigt Volumen, Oberfläche und Form.

Ihr Ellipsoid
Ergebnis

Was ist ein Ellipsoid?

Ein Ellipsoid ist ein gestreckter oder gestauchter Kugelkörper. Er hat drei Halbachsen a, b und c, die halben Durchmesser in drei senkrechten Richtungen. Sind alle drei gleich, ist das Ellipsoid eine Kugel. Sind zwei gleich, entsteht ein Rotationsellipsoid: abgeplattet wie die Erde oder eine Linse, oder verlängert wie ein Rugbyball oder ein Ei in grober Näherung.

Das Volumen ist einfach zu berechnen: Es ist das Volumen einer Kugel, bei der r³ durch das Produkt der drei Halbachsen ersetzt wird, also 4/3 × π × a × b × c. Die Oberfläche dagegen hat keine elementare Formel. Viele Rechner verwenden deshalb Näherungen, die um bis zu ein Prozent abweichen können.

Dieser Rechner berechnet die Oberfläche exakt mit elliptischen Integralen nach der Formel von Legendre. Die Integrale werden numerisch über die Carlson-Formen ausgewertet, die auf viele Stellen genau sind. Für Rotationsellipsoide stimmt das Ergebnis mit den bekannten geschlossenen Formeln überein, für die Kugel mit 4πr².

V=4 / 3×π×a×b×c; O=2 π c2+2 π ab⋅(E (φ , k)×sin2 φ+F (φ , k)×cos2 φ)sin φmit a≥b≥c , cos φ=ca , k2=a2 (b2−c2)b2 (a2−c2)V = 4\,/\,3 \times \pi \times a \times b \times c;\ O = 2\,\pi\,c^{2} + \frac{2\,\pi\,\text{ab} \cdot \left(E\,\left(\varphi\,{,}\ k\right) \times \text{sin}^{2}\,\varphi + F\,\left(\varphi\,{,}\ k\right) \times \text{cos}^{2}\,\varphi\right)}{\text{sin}\,\varphi}\quad \text{mit}\ a \ge b \ge c\,{,}\ \text{cos}\,\varphi = \frac{c}{a}\,{,}\ k^{2} = \frac{a^{2}\,\left(b^{2} - c^{2}\right)}{b^{2}\,\left(a^{2} - c^{2}\right)}

Beispiel: Halbachsen 5, 4 und 3 cm: Volumen = 4/3 × π × 60 = 80π ≈ 251,3274 cm³, also gut ein Viertelliter. Die Oberfläche beträgt nach der exakten Formel 199,4551 cm². Eine Kugel mit gleichem Volumen hätte einen Durchmesser von 7,8297 cm und eine etwas kleinere Oberfläche, denn die Kugel hat von allen Körpern mit gleichem Volumen die kleinste Oberfläche.

Ellipsoide in Natur und Technik

Die Erde ist in guter Näherung ein abgeplattetes Rotationsellipsoid. Der Äquatorradius ist rund 21 Kilometer größer als der Polradius. Für Landkarten und GPS wird deshalb mit Referenzellipsoiden wie WGS 84 gerechnet. Für das Erdvolumen genügt allerdings auch die Kugel, weil die Abplattung nur etwa ein Dreihundertstel beträgt.

In der Medizin wird das Volumen von Organen und Gewebeveränderungen im Ultraschall oft über die Ellipsoidformel geschätzt. Man misst drei senkrechte Durchmesser und rechnet V = π ÷ 6 × Länge × Breite × Höhe, was genau 4/3 × π × a × b × c mit den halben Maßen entspricht. Die Einordnung solcher Werte gehört in ärztliche Hand.

Für Behälter und Tanks mit ellipsoidförmigen Böden, für Wassermelonen, Eier und Steine liefert die Formel eine gute Schätzung des Volumens. Geben Sie die halben Außenmaße in Zentimetern ein, zeigt der Rechner das Volumen zusätzlich in Litern. Für das Gewicht multiplizieren Sie das Volumen mit der Dichte des Materials.

Kugeln berechnet der Kugel-Rechner, ebene Ellipsen mit Fläche und Umfang der Ellipse-Rechner. Volumen und Oberfläche weiterer Körper vergleicht der Rechner für Volumen und Oberfläche.

Tipps und typische Fehler

Körper vergleichen.

  • Halbachsen: Halbe Maße.
  • Liter: Maße in cm.
  • Kugel: Kleinste Oberfläche.
  • Exakt: Keine Näherung.

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Häufige Fragen

Wie berechne ich das Volumen eines Ellipsoids?

Mit V = 4/3 × π × a × b × c aus den drei Halbachsen.

Warum gibt es keine einfache Formel für die Oberfläche?

Sie führt auf elliptische Integrale, die sich nicht mit Grundrechenarten und Wurzeln ausdrücken lassen.

Was ist ein Rotationsellipsoid?

Ein Ellipsoid mit zwei gleichen Halbachsen, das durch Drehen einer Ellipse um eine ihrer Achsen entsteht.

Wie genau sind Näherungsformeln?

Die verbreitete Formel von Thomsen weicht um höchstens etwa ein Prozent ab.

Ist ein Ei ein Ellipsoid?

Nur näherungsweise, weil ein Ei an einem Ende spitzer ist.

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