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Platonische Körper berechnen

Wählen Sie den Körper und tragen Sie die Kantenlänge ein. Der Rechner zeigt Volumen, Oberfläche und die Radien von Umkugel und Inkugel.

Ihr Körper
Alle Kanten eines platonischen Körpers sind gleich lang.
Ergebnis

Die fünf regelmäßigen Körper

Platonische Körper sind die einzigen konvexen Körper, deren Flächen alle aus demselben regelmäßigen Vieleck bestehen und an deren Ecken jeweils gleich viele Flächen zusammenstoßen. Es gibt genau fünf davon: Tetraeder, Würfel, Oktaeder, Dodekaeder und Ikosaeder. Schon in der Antike waren sie bekannt, Platon ordnete sie den Elementen zu.

Weil alle Kanten gleich lang sind, genügt eine einzige Angabe, um den Körper vollständig zu beschreiben. Aus der Kantenlänge berechnet der Rechner das Volumen, die Oberfläche sowie die Radien der Umkugel, die durch alle Ecken geht, und der Inkugel, die alle Flächen von innen berührt. Dazu zeigt er die Zahl der Ecken, Kanten und Flächen.

Die Einheit ergibt sich aus Ihrer Eingabe. Geben Sie die Kante in Zentimetern ein, erhalten Sie das Volumen in Kubikzentimetern und die Oberfläche in Quadratzentimetern. So lassen sich etwa Spielwürfel, Bastelmodelle oder Dekorationsobjekte berechnen.

Tetraeder: V=a36 2 , O=3 a2; Wu¨rfel: V=a3 , O=6 a2; Oktaeder: V=2 a33 , O=2 3 a2; Dodekaeder: V=(15+7 5) a34; Ikosaeder: V=5 (3+5) a312\text{Tetraeder}:\ V = \frac{a^{3}}{6\,\sqrt{2}}\,{,}\ O = \sqrt{3}\,a^{2};\ \text{Würfel}:\ V = a^{3}\,{,}\ O = 6\,a^{2};\ \text{Oktaeder}:\ V = \frac{\sqrt{2}\,a^{3}}{3}\,{,}\ O = 2\,\sqrt{3}\,a^{2};\ \text{Dodekaeder}:\ V = \frac{\left(15 + 7\,\sqrt{5}\right)\,a^{3}}{4};\ \text{Ikosaeder}:\ V = \frac{5\,\left(3 + \sqrt{5}\right)\,a^{3}}{12}

Beispiel: Tetraeder mit 6 cm Kantenlänge: Volumen 25,456 cm³, Oberfläche 62,354 cm², Umkugelradius 3,674 cm, Inkugelradius 1,225 cm. Ein Würfel mit 2 cm Kante hat 8 cm³ Volumen und 24 cm² Oberfläche.

Eigenschaften und Anwendungen

Für alle fünf Körper gilt der eulersche Polyedersatz: Ecken minus Kanten plus Flächen ergibt zwei. Der Würfel hat 8 Ecken, 12 Kanten und 6 Flächen, das Ikosaeder 12 Ecken, 30 Kanten und 20 Flächen. Würfel und Oktaeder sowie Dodekaeder und Ikosaeder sind zueinander dual: Die Flächenmitten des einen bilden die Ecken des anderen.

Das Verhältnis von Inkugel- zu Umkugelradius zeigt, wie kugelähnlich ein Körper ist. Beim Tetraeder beträgt es genau ein Drittel, beim Ikosaeder rund 0,79. Deshalb wirken Dodekaeder und Ikosaeder schon recht rund, während das Tetraeder spitz bleibt. Bei gleichem Volumen hat das Tetraeder die größte Oberfläche.

In der Praxis begegnen Ihnen die Formen häufiger als gedacht. Spielwürfel mit 4, 6, 8, 12 und 20 Seiten sind platonische Körper. Viele Viren haben eine ikosaedrische Hülle, und manche Kristalle wachsen als Würfel oder Oktaeder. In der Chemie hat das Methanmolekül die Form eines Tetraeders.

Wer ein Modell bastelt, braucht die Fläche einer einzelnen Seite: Oberfläche geteilt durch die Zahl der Flächen. Für andere Körper wie Prisma, Pyramide oder Kugel gibt es eigene Rechner. Die Ergebnisse gelten für exakte, regelmäßige Körper; bei realen Objekten mit abgerundeten Kanten weichen die Werte etwas ab.

Tipps und typische Fehler

Körper sicher berechnen.

  • Kante: Alle gleich lang.
  • Einheit: Kubik beim Volumen.
  • Euler: E − K + F = 2.
  • Einzelfläche: Oberfläche ÷ Flächenzahl.

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Häufige Fragen

Wie viele platonische Körper gibt es?

Genau fünf: Tetraeder, Würfel, Oktaeder, Dodekaeder und Ikosaeder.

Was ist der Umkugelradius?

Der Radius der Kugel, die durch alle Ecken des Körpers verläuft.

In welcher Einheit ist das Volumen?

In der Kubik-Einheit der eingegebenen Kantenlänge.

Warum gibt es nur fünf platonische Körper?

An einer Ecke müssen mindestens drei gleiche Vielecke mit zusammen weniger als 360 Grad zusammentreffen; das geht nur auf fünf Arten.

Welche Spielwürfel sind platonische Körper?

Die Würfel mit 4, 6, 8, 12 und 20 Seiten.

Auch gesucht als:
  • platonische Körper berechnen
  • Dodekaeder Volumen
  • Ikosaeder Volumen
  • Tetraeder Volumen berechnen
  • Oktaeder Oberfläche
  • Umkugelradius berechnen

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