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Mathe & Formeln

Kreissehne berechnen

Tragen Sie den Radius und den Mittelpunktswinkel ein. Der Rechner zeigt Sehne, Bogen, Flächen und Pfeilhöhe.

Ihr Kreis
Winkel zwischen den beiden Radien zu den Sehnenenden, größer als 0 und kleiner als 360 Grad.
Ergebnis

Sehne, Bogen und Segment

Eine Sehne ist eine gerade Strecke, die zwei Punkte auf einem Kreis verbindet. Die längste mögliche Sehne ist der Durchmesser. Zu jeder Sehne gehört ein Kreisbogen, also das gekrümmte Stück des Kreises zwischen den beiden Endpunkten, und ein Mittelpunktswinkel, den die beiden Radien zu den Endpunkten einschließen.

Aus Radius und Mittelpunktswinkel berechnet der Rechner die Sehnenlänge und die Bogenlänge. Außerdem zeigt er die Fläche des Kreisausschnitts, also des Tortenstücks zwischen den beiden Radien, und die Fläche des Kreisabschnitts zwischen Sehne und Bogen. Dazu kommt die Pfeilhöhe, der größte Abstand zwischen Sehne und Bogen.

Bei einem Radius von 10 und einem Winkel von 60 Grad entsteht ein gleichseitiges Dreieck aus den beiden Radien und der Sehne. Die Sehne ist deshalb genau so lang wie der Radius, nämlich 10. Der Bogen ist mit 10,47 etwas länger.

s=2 r×sin (α2); b=π⋅r⋅α180∘; Segment=r2⋅(α−sin α)2; Sektor=π⋅r2⋅α360∘; h=r×(1−cos (α2))s = 2\,r \times \text{sin}\,\left(\frac{\alpha}{2}\right);\ b = \frac{\pi \cdot r \cdot \alpha}{180^\circ};\ \text{Segment} = \frac{r^{2} \cdot \left(\alpha - \text{sin}\,\alpha\right)}{2};\ \text{Sektor} = \frac{\pi \cdot r^{2} \cdot \alpha}{360^\circ};\ h = r \times \left(1 - \text{cos}\,\left(\frac{\alpha}{2}\right)\right)

Beispiel: Radius 10, Winkel 60 Grad: Sehne 10, Bogen 10,4720, Segmentfläche 9,0586, Sektorfläche 52,3599, Pfeilhöhe 1,3397, Abstand der Sehne vom Mittelpunkt 8,6603.

Anwendungen in Handwerk und Technik

Im Bauwesen und im Handwerk werden Sehne und Pfeilhöhe oft gebraucht, etwa für Rundbögen über Fenstern und Türen. Der Maurer kennt die Spannweite, also die Sehne, und die gewünschte Stichhöhe und braucht daraus den Radius der Schablone. Beim Biegen von Rohren und Profilen gibt die Bogenlänge an, wie viel Material nötig ist.

Der Kreisabschnitt ist wichtig, wenn ein liegender Zylinder teilweise gefüllt ist, etwa ein Heizöl- oder Wassertank. Die Querschnittsfläche der Flüssigkeit ist ein Kreisabschnitt; multipliziert mit der Tanklänge ergibt sich das Volumen. Den Füllstand von Tanks berechnet der Tankinhalt-Rechner direkt.

Achten Sie auf die Winkeleinheit. Der Rechner erwartet den Winkel in Grad. In vielen Formelsammlungen steht die Segmentformel mit dem Winkel im Bogenmaß; der Rechner rechnet intern um. Für Winkel über 180 Grad beschreibt das Segment den größeren Teil des Kreises, die Sehne wird dann wieder kürzer.

Für Kreisausschnitte mit gegebener Bogenlänge eignet sich der Kreissektor-Rechner, für Umfang und Fläche des ganzen Kreises der Kreisrechner. Bei räumlichen Aufgaben wie Kugelkappen hilft der Kugelsegment-Rechner weiter.

Tipps und typische Fehler

Kreisteile berechnen.

  • Grad: Winkel in Grad eingeben.
  • Segment: Zwischen Sehne und Bogen.
  • Sektor: Bis zum Mittelpunkt.
  • Tank: Segment × Länge.

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Häufige Fragen

Wie berechne ich die Länge einer Sehne?

Sehne = 2 × Radius × sin(halber Mittelpunktswinkel).

Was ist die Pfeilhöhe?

Der größte Abstand zwischen Sehne und Kreisbogen.

Was ist der Unterschied zwischen Sektor und Segment?

Der Sektor reicht bis zum Mittelpunkt, das Segment nur bis zur Sehne.

Wie berechne ich den Radius aus Sehne und Pfeilhöhe?

r = (s² ÷ 4 + h²) ÷ (2h).

Welche Sehne ist am längsten?

Der Durchmesser.

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  • Pfeilhöhe Kreisbogen
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