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Mathe & Formeln

Ellipse berechnen

Tragen Sie die beiden Halbachsen ein. Der Rechner zeigt Fläche, Umfang, Brennpunktabstand und Exzentrizität.

Ihre Ellipse
Ergebnis

Die Ellipse und ihre Maße

Die Ellipse ist ein gestreckter Kreis. Sie begegnet Ihnen bei ovalen Tischen, Beeten, Pools, Laufbahnen, Spiegeln und in der Astronomie, denn Planeten umkreisen die Sonne auf Ellipsenbahnen. Beschrieben wird sie durch zwei Halbachsen: die lange Halbachse und die kurze. Sind beide gleich, ist die Ellipse ein Kreis.

Die Fläche einer Ellipse ist Pi mal Halbachse a mal Halbachse b. Bei Halbachsen von 5 und 3 sind das gut 47 Quadrateinheiten. Der Umfang ist komplizierter: Eine exakte Formel braucht elliptische Integrale, in der Praxis nutzt man die Näherung von Ramanujan, die der Rechner verwendet und die auf wenige Millionstel genau ist. Hier ergibt sich ein Umfang von etwa 25,53.

Der Rechner liefert zudem den Abstand der Brennpunkte vom Mittelpunkt und die numerische Exzentrizität. Sie liegt zwischen 0 beim Kreis und nahe 1 bei sehr gestreckten Ellipsen. Eine Ellipse mit Halbachsen 5 und 3 hat die Brennpunkte bei plus und minus 4 und die Exzentrizität 0,8.

Fla¨che=π×a×b\text{Fläche} = \pi \times a \times bUmfang≈π×(3×(a+b)−(3 a+b)×(a+3 b))\text{Umfang} \approx \pi \times \left(3 \times \left(a + b\right) - \sqrt{\left(3\,a + b\right) \times \left(a + 3\,b\right)}\right)

Beispiel: Bei Halbachsen von 5 und 3 beträgt die Fläche etwa 47,12, der Umfang etwa 25,53, der Abstand der Brennpunkte vom Mittelpunkt 4 und die Exzentrizität 0,8. Bei zwei gleichen Halbachsen von 4 ergibt sich der Kreisumfang von 25,13.

Anwendungen und Hinweise

Ein ovales Beet oder einen Pool planen Sie mit den Halbachsen, also der halben Länge und der halben Breite. Für das Material der Einfassung brauchen Sie den Umfang, für die Erde oder Folie die Fläche. Der Erde-Rechner und der Pool-Rechner nutzen ähnliche Überlegungen für Volumen und Fläche.

Die besondere Eigenschaft der Ellipse: Jede Linie von einem Brennpunkt zum Rand und weiter zum anderen Brennpunkt hat dieselbe Länge. Deshalb lassen sich Ellipsen mit zwei Stiften und einer Schnur zeichnen, der Gärtnerkonstruktion. Das nutzen Gartenbauer, um Beete im Boden abzustecken.

Die Planeten bewegen sich nach dem ersten Keplerschen Gesetz auf Ellipsen, in deren einem Brennpunkt die Sonne steht. Die Erdbahn ist fast kreisrund, ihre Exzentrizität beträgt nur 0,017. Kometen dagegen haben stark gestreckte Bahnen mit Exzentrizitäten nahe 1.

Vertauschen Sie die beiden Achsen, ändert sich nichts: Der Rechner nimmt automatisch die längere als große Halbachse. Beachten Sie, dass Halbachsen die halbe Länge und Breite sind, nicht die vollen Maße.

Tipps und typische Fehler

Ellipse zeichnen.

  • Halbachsen: Halbe Länge und Breite.
  • Schnurmethode: Zwei Stifte genügen.
  • Umfang: Näherung nutzen.
  • Kreis: Gleiche Halbachsen.

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Dieser Rechner hilft bei diesen und ähnlichen Fragen:

  • Ellipse berechnen
  • Ellipsenfläche
  • Ellipse Umfang
  • Exzentrizität
  • Halbachsen Ellipse
  • ovales Beet

Häufige Fragen

Wie berechne ich die Fläche einer Ellipse?

Pi mal beide Halbachsen.

Warum nur eine Näherung für den Umfang?

Eine exakte Formel erfordert höhere Mathematik, die Näherung ist sehr genau.

Was bedeutet Exzentrizität?

Das Maß für die Streckung, 0 beim Kreis.

Wie berechne ich die Ellipsenfläche?

Pi mal beide Halbachsen.

Wie groß ist der Umfang?

Näherungsweise mit der Formel von Ramanujan.

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