Was ist ein Torus?
Ein Torus entsteht, wenn ein Kreis um eine Achse gedreht wird, die in seiner Ebene liegt, ihn aber nicht schneidet. Das Ergebnis ist ein Ring mit kreisrundem Querschnitt, wie ein Schwimmreifen, ein Donut, ein O-Ring oder ein Rettungsring. Der Torus wird durch zwei Maße beschrieben: den Ringradius R vom Mittelpunkt bis zur Mitte des Rohrs und den Rohrradius r.
Für Volumen und Oberfläche gibt es erstaunlich einfache Formeln. Sie folgen aus den Regeln von Guldin: Das Volumen eines Rotationskörpers ist die Fläche des gedrehten Querschnitts mal dem Weg, den sein Schwerpunkt zurücklegt. Beim Torus ist der Querschnitt ein Kreis mit der Fläche πr², sein Schwerpunkt läuft auf einem Kreis mit dem Umfang 2πR.
Entsprechend ist die Oberfläche der Umfang des Querschnitts, 2πr, mal dem Weg 2πR. Der Rechner gibt außerdem den Außen- und den Innendurchmesser aus, die man an einem echten Ring am leichtesten messen kann. Der Rohrradius darf nicht größer sein als der Ringradius, sonst durchdringt sich der Körper selbst.
Maße am echten Ring bestimmen
An einem echten Ring misst man meist Außen- und Innendurchmesser. Daraus ergeben sich die Radien: r = (Außen − Innen) ÷ 4 und R = (Außen + Innen) ÷ 4. Ein Schwimmreifen mit 90 cm außen und 50 cm innen hat also r = 10 cm und R = 35 cm. Das Volumen beträgt dann etwa 69 Liter, ein Hinweis darauf, wie viel Luft beim Aufpumpen nötig ist.
Bei Dichtungen wie O-Ringen werden Innendurchmesser und Schnurstärke angegeben. Die Schnurstärke ist 2r, der Ringradius R ist halber Innendurchmesser plus r. Mit dem Volumen und der Dichte des Werkstoffs lässt sich das Gewicht einer Dichtung abschätzen. Bei Ringkerntransformatoren und Spulen hilft die Rechnung, die Länge des Wickeldrahts und den Kernquerschnitt zu bestimmen.
Ist der Querschnitt nicht kreisrund, sondern zum Beispiel rechteckig wie bei einer Unterlegscheibe, handelt es sich um einen Hohlzylinder. Für flache Kreisringe in der Ebene, etwa eine Ringfläche auf einem Plan, genügt die Fläche zwischen zwei Kreisen.
Die Fläche eines ebenen Kreisrings berechnet der Kreisring-Rechner, Rohre und Hülsen der Hohlzylinder-Rechner. Für volle zylindrische Körper nutzen Sie den Zylinder-Rechner.
Tipps und typische Fehler
Ringe berechnen.
- R: Bis Rohrmitte.
- Durchmesser: Umrechnen.
- r ≤ R: Beachten.
- Dichte: Für Gewicht.
Weitere Rechner: Mathe & Formeln
Häufige Fragen
Wie berechne ich das Volumen eines Donuts?
Mit V = 2π² × R × r², wobei R der Abstand zur Teigmitte und r der halbe Teigquerschnitt ist.
Wie bestimme ich R und r aus den Durchmessern?
r = (Außen − Innen) ÷ 4 und R = (Außen + Innen) ÷ 4.
Was passiert, wenn r größer als R ist?
Dann überschneidet sich der Körper selbst; die Formeln gelten nur für r ≤ R.
Was ist die Guldinsche Regel?
Volumen und Oberfläche von Rotationskörpern ergeben sich aus Querschnitt bzw. Umfang mal Schwerpunktweg.
Wie schwer ist ein O-Ring?
Volumen mal Dichte des Werkstoffs, bei Gummi etwa 1,2 bis 1,5 g je cm³.
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