Wie berechnet man die Fläche eines Vielecks?
Für Rechtecke, Dreiecke und Trapeze gibt es einfache Formeln. Ein unregelmäßiges Grundstück, ein Raum mit Erkern oder eine Fläche auf einem Plan hat aber oft fünf, sechs oder mehr Ecken. Kennt man die Koordinaten der Eckpunkte, lässt sich die Fläche trotzdem exakt berechnen, ohne die Figur in Dreiecke zu zerlegen.
Der Rechner nutzt die Gaußsche Trapezformel, auch Schuhbandformel genannt. Für jede Kante wird das Kreuzprodukt der Koordinaten ihrer beiden Endpunkte gebildet, alle Werte werden addiert und die Summe halbiert. Dabei folgt auf den letzten Punkt wieder der erste. Das Ergebnis ist die Fläche, sein Vorzeichen zeigt den Umlaufsinn.
Wichtig ist die Reihenfolge: Die Punkte müssen nacheinander entlang des Randes eingegeben werden, entweder im oder gegen den Uhrzeigersinn. Springt die Eingabe quer durch die Figur, überschneiden sich die Kanten, und die berechnete Fläche stimmt nicht. Der Rechner prüft das und gibt in diesem Fall eine Warnung aus.
A = ½ × |Σ (xᵢ × yᵢ₊₁ − xᵢ₊₁ × yᵢ)|; Schwerpunkt Sₓ = Σ (xᵢ + xᵢ₊₁)(xᵢyᵢ₊₁ − xᵢ₊₁yᵢ) ÷ (6A), S_y entsprechend
Praktische Anwendungen
Bei Grundstücken liefern Lagepläne oder Vermessungsunterlagen oft Koordinaten der Grenzpunkte. Mit dem Rechner lässt sich die Fläche nachprüfen. Die amtliche Grundstücksfläche steht im Liegenschaftskataster und ist maßgeblich; kleine Abweichungen entstehen durch Rundung und gekrümmte Grenzen.
Für Räume und Flächen auf Bauplänen legt man eine Ecke in den Ursprung und misst die übrigen Ecken als Abstände nach rechts und nach oben. So lassen sich auch L-förmige Räume, Dachschrägen in der Ansicht oder unregelmäßige Terrassen berechnen. Alle Koordinaten müssen in derselben Einheit vorliegen; die Fläche hat dann die Einheit zum Quadrat.
Der Schwerpunkt ist der Punkt, an dem eine gleichmäßig dicke Platte in der Form des Vielecks im Gleichgewicht wäre. Er wird in der Statik und im Maschinenbau gebraucht. Bei nicht konvexen Figuren kann er auch außerhalb der Fläche liegen, etwa bei einer L-Form oder einem Hufeisen.
Regelmäßige Vielecke berechnet der Vieleck-Rechner, Dreiecke der Dreieck-Rechner. Für Flächen aus Einzelmaßen wie Rechtecken und Kreisen nutzen Sie den Flächenrechner.
Tipps und typische Fehler
Flächen aus Punkten.
- Reihenfolge: Entlang des Randes.
- Einheit: Einheitlich.
- Kreuzung: Vermeiden.
- Ursprung: Eine Ecke.
Weitere Rechner: Mathe & Formeln
Häufige Fragen
Muss der letzte Punkt dem ersten entsprechen?
Nein, die Figur wird automatisch geschlossen; ein wiederholter Startpunkt am Ende wird ignoriert.
Funktioniert die Formel für nicht konvexe Vielecke?
Ja, solange sich die Kanten nicht überschneiden.
Was bedeutet der Umlaufsinn?
Er zeigt, ob die Punkte gegen oder im Uhrzeigersinn eingegeben wurden; auf die Fläche hat er keinen Einfluss.
Warum heißt sie Schuhbandformel?
Weil die überkreuzten Multiplikationen der Koordinaten an das Schnüren eines Schuhs erinnern.
Kann ich auch Koordinaten aus GPS nutzen?
Nur nach Umrechnung in ein ebenes, metrisches Koordinatensystem; Längen- und Breitengrade sind keine Meter.
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