Wie findet man die Parabel durch drei Punkte?
Eine quadratische Funktion f(x) = ax² + bx + c hat drei Koeffizienten. Drei Punkte mit verschiedenen x-Werten legen sie deshalb eindeutig fest. Setzt man jeden Punkt in die Funktionsgleichung ein, entsteht ein lineares Gleichungssystem mit drei Gleichungen und den drei Unbekannten a, b und c. Diese Aufgabe gehört zum Standardstoff der Oberstufe.
Der Rechner löst das System mit der Lagrange-Interpolation, die ohne Umformungsschritte direkt zu den Koeffizienten führt. Aus a, b und c bestimmt er anschließend den Scheitelpunkt, die Öffnungsrichtung und die Nullstellen. Ist a positiv, ist die Parabel nach oben geöffnet und der Scheitelpunkt ein Tiefpunkt; ist a negativ, ist sie nach unten geöffnet.
Liegen die drei Punkte auf einer Geraden, ergibt sich a = 0. Dann gibt es keine Parabel durch die Punkte, sondern nur eine lineare Funktion, die der Rechner ausgibt. Haben zwei Punkte denselben x-Wert, gibt es keine Funktion, die durch beide geht, und der Rechner meldet einen Fehler.
Anwendungen und Lösungswege
Im Unterricht wird das Gleichungssystem meist mit dem Additionsverfahren oder dem Gauß-Verfahren gelöst: Man zieht zwei Gleichungen voneinander ab, um c zu eliminieren, und erhält ein System mit zwei Unbekannten. Der Rechner eignet sich gut, um das eigene Ergebnis zu prüfen. Setzen Sie zur Probe jeden Punkt in die gefundene Gleichung ein.
In der Praxis beschreiben Parabeln Flugbahnen, Brückenbögen, Kabeldurchhänge in erster Näherung und die Form von Parabolspiegeln. Wer drei Messpunkte einer Wurfbahn kennt, kann daraus die Bahn, den höchsten Punkt und den Auftreffpunkt berechnen. In der Numerik dient die Parabel durch drei Punkte dazu, ein Minimum oder Maximum einer Messkurve zu schätzen.
Die Scheitelpunktform f(x) = a(x − xₛ)² + yₛ zeigt den Scheitelpunkt direkt. Im Beispiel lautet sie f(x) = 2(x − 0,75)² − 0,125. Die faktorisierte Form f(x) = a(x − x₁)(x − x₂) zeigt die Nullstellen: f(x) = 2(x − 0,5)(x − 1). Alle drei Formen beschreiben dieselbe Parabel.
Den Scheitelpunkt aus einer gegebenen Gleichung berechnet der Scheitelpunkt-Rechner, Nullstellen der pq-Formel-Rechner. Zwischenwerte auf einer Kurve schätzt der Interpolation-Rechner.
Tipps und typische Fehler
Funktionen bestimmen.
- x-Werte: Verschieden.
- Probe: Einsetzen.
- a = 0: Gerade.
- Formen: Umrechnen.
Weitere Rechner: Mathe & Formeln
Häufige Fragen
Wie viele Punkte braucht man für eine Parabel?
Drei Punkte mit verschiedenen x-Werten legen eine Parabel eindeutig fest.
Was passiert, wenn die Punkte auf einer Geraden liegen?
Dann ist a = 0, und es gibt nur eine Gerade, keine Parabel durch die Punkte.
Woran erkenne ich die Öffnungsrichtung?
Ist a positiv, ist die Parabel nach oben geöffnet, ist a negativ, nach unten.
Was ist eine Steckbriefaufgabe?
Eine Aufgabe, bei der man aus gegebenen Eigenschaften wie Punkten die Funktionsgleichung bestimmt.
Kann ich auch den Scheitelpunkt vorgeben?
Ja, mit Scheitelpunkt und einem weiteren Punkt reicht die Scheitelpunktform.
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