Zwischenwerte aus Tabellen ablesen
Viele Werte liegen nur als Tabelle vor: Dichten bei bestimmten Temperaturen, Steuertabellen in Stufen, Messreihen in festen Abständen oder Kennlinien aus Datenblättern. Wird ein Wert zwischen zwei Tabellenzeilen gebraucht, hilft die lineare Interpolation. Sie nimmt an, dass sich der Wert zwischen den beiden bekannten Punkten gleichmäßig ändert, und legt eine Gerade durch die Punkte.
Der Rechner bestimmt zuerst die Steigung der Geraden durch die Punkte (x₁ | y₁) und (x₂ | y₂). Dann geht er vom ersten Punkt aus um die Differenz x − x₁ weiter und addiert die entsprechende Änderung von y. Zusätzlich zeigt er die vollständige Geradengleichung und die relative Lage von x zwischen den beiden Stützstellen in Prozent.
Liegt der gesuchte x-Wert außerhalb des Bereichs zwischen x₁ und x₂, wird die Gerade verlängert. Man spricht dann von Extrapolation. Der Rechner kennzeichnet diesen Fall, weil das Ergebnis nur stimmt, wenn der lineare Zusammenhang auch jenseits der bekannten Werte gilt. Bei vielen realen Kurven ist das nicht der Fall.
Genauigkeit und Grenzen
Die lineare Interpolation ist umso genauer, je dichter die Stützstellen liegen und je weniger die tatsächliche Kurve gekrümmt ist. Im Beispiel beträgt die Dichte von Wasser bei 24 Grad tatsächlich etwa 997,3 kg/m³. Die Abweichung von rund 0,1 kg/m³ entsteht, weil die Dichtekurve leicht gekrümmt ist. Für die meisten praktischen Zwecke ist das völlig ausreichend.
Bei stark gekrümmten Verläufen, etwa exponentiellem Wachstum oder Dampfdrucktabellen, kann die lineare Interpolation merklich danebenliegen. Dann helfen engere Tabellenabstände, eine Interpolation mit mehr als zwei Punkten oder die Interpolation der Logarithmen. Für die Auswertung vieler Messpunkte mit Streuung eignet sich die lineare Regression besser, weil sie nicht durch jeden Punkt verlaufen muss.
Extrapolationen sollten Sie besonders kritisch prüfen. Ein Trend, der zwischen zwei Jahren gilt, setzt sich nicht automatisch fort. Je weiter der gesuchte Wert außerhalb der bekannten Punkte liegt, desto größer ist die Unsicherheit. Bei Prognosen von Umsätzen, Preisen oder Bevölkerungszahlen ist eine einfache Gerade meist zu grob.
Die Gerade durch zwei Punkte zeigt auch der Rechner für Geradengleichungen, die Steigung allein der Steigungsrechner. Für Ausgleichsgeraden durch viele Messwerte nutzen Sie den Rechner für lineare Regression. Werte, die im Dreisatz proportional zusammenhängen, berechnet der Dreisatz-Rechner.
Tipps und typische Fehler
Sauber interpolieren.
- Eng: Nahe Stützstellen.
- Einheiten: Gleich halten.
- Extrapolation: Vorsichtig.
- Kurven: Krümmung beachten.
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Häufige Fragen
Was ist der Unterschied zwischen Interpolation und Extrapolation?
Interpolation schätzt Werte zwischen bekannten Punkten, Extrapolation darüber hinaus.
Wann ist lineare Interpolation genau genug?
Wenn die Stützstellen eng liegen und die Kurve dazwischen kaum gekrümmt ist.
Kann ich auch rückwärts nach x interpolieren?
Ja, indem Sie x- und y-Werte vertauschen und den bekannten y-Wert als gesuchten Wert eingeben.
Wie interpoliere ich in einer Tabelle?
Die beiden Zeilen um den gesuchten Wert als Punkte eintragen und den x-Wert ergänzen.
Was ist bilineare Interpolation?
Die Interpolation in zwei Richtungen, etwa in Tabellen mit Zeilen und Spalten.
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