Wie findet man den Kreis durch drei Punkte?
Durch drei Punkte, die nicht auf einer Geraden liegen, geht genau ein Kreis. Er ist der Umkreis des Dreiecks, das die drei Punkte bilden. Sein Mittelpunkt hat von allen drei Punkten denselben Abstand und liegt deshalb auf den Mittelsenkrechten der Dreiecksseiten. Wo sich zwei Mittelsenkrechte schneiden, liegt der Mittelpunkt.
Der Rechner bestimmt den Mittelpunkt mit einer geschlossenen Formel, die aus dem Schnitt der Mittelsenkrechten folgt. Der Radius ist der Abstand vom Mittelpunkt zu einem der Punkte. Daraus ergeben sich Durchmesser, Umfang, Fläche und die Kreisgleichung in der Form (x − xₘ)² + (y − yₘ)² = r².
Liegen die drei Punkte auf einer Geraden oder fallen zwei zusammen, gibt es keinen eindeutigen Kreis. Die Mittelsenkrechten verlaufen dann parallel und schneiden sich nicht. Der Rechner meldet in diesem Fall einen Fehler. Je flacher das Dreieck, desto größer wird der Kreis und desto empfindlicher reagiert das Ergebnis auf kleine Messfehler.
Anwendungen in Praxis und Unterricht
Im Handwerk hilft die Rechnung, den Radius eines Bogens zu bestimmen, von dem nur ein Stück vorhanden ist, etwa bei einem Rundbogenfenster, einer gebogenen Mauer oder einem alten Rad. Man misst drei Punkte auf dem Bogen in einem Koordinatensystem ein und erhält Mittelpunkt und Radius. Je weiter die Punkte auseinanderliegen, desto genauer ist das Ergebnis.
Bei rechtwinkligen Dreiecken liegt der Umkreismittelpunkt immer in der Mitte der Hypotenuse; das ist der Satz des Thales. Bei spitzwinkligen Dreiecken liegt er innerhalb, bei stumpfwinkligen außerhalb des Dreiecks. Diese Eigenschaft lässt sich mit dem Rechner leicht nachprüfen, indem man die Punkte verändert.
In der Vermessung und in der Bildverarbeitung wird der Kreis durch drei Punkte genutzt, um Kreisbögen in Messdaten zu erkennen. Liegen mehr als drei Punkte vor, die wegen Messfehlern nicht exakt auf einem Kreis liegen, verwendet man eine Ausgleichsrechnung. Für einen ersten Überblick genügen drei gut verteilte Punkte.
Umfang und Fläche eines Kreises aus dem Radius berechnet der Kreisrechner, den Abstand zweier Punkte der Rechner für den Abstand zweier Punkte. Seiten, Winkel und Fläche des Dreiecks zeigt der Dreieck-Rechner.
Tipps und typische Fehler
Kreise finden.
- Abstand: Punkte weit verteilen.
- Gerade: Kein Kreis.
- Thales: Bei rechtem Winkel.
- Einheit: Einheitlich messen.
Weitere Rechner: Mathe & Formeln
Häufige Fragen
Wie viele Kreise gehen durch drei Punkte?
Genau einer, sofern die Punkte nicht auf einer Geraden liegen.
Was ist der Umkreis eines Dreiecks?
Der Kreis, der durch alle drei Eckpunkte geht; sein Mittelpunkt ist der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten.
Wo liegt der Mittelpunkt bei einem rechtwinkligen Dreieck?
In der Mitte der Hypotenuse, nach dem Satz des Thales.
Wie konstruiere ich den Umkreis?
Mit Zirkel und Lineal zwei Mittelsenkrechte zeichnen; ihr Schnittpunkt ist der Mittelpunkt.
Wie bestimme ich den Radius eines Bogens?
Drei Punkte auf dem Bogen einmessen und in den Rechner eintragen.
- Kreis durch drei Punkte
- Umkreis berechnen
- Kreismittelpunkt berechnen
- Kreisgleichung aufstellen
- Radius aus drei Punkten
- Bogen Radius bestimmen
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