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Wahrscheinlichkeit für mindestens einen Treffer

Tragen Sie die Trefferchance pro Versuch, die Zahl der Versuche und Ihre Zielchance ein. Der Rechner zeigt die Gesamtwahrscheinlichkeit und die nötigen Versuche.

Ihre Versuche
Ergebnis

Wie wahrscheinlich ist mindestens ein Treffer?

Viele Fragen aus Alltag, Spiel und Technik lassen sich auf dieselbe Rechnung zurückführen: Wie wahrscheinlich ist es, dass ein Ereignis bei mehreren Versuchen mindestens einmal eintritt? Wie oft muss man würfeln, um mit 90 Prozent Sicherheit eine Sechs zu bekommen? Wie wahrscheinlich ist es, dass bei 20 Bauteilen mindestens eines defekt ist?

Der Trick ist die Gegenwahrscheinlichkeit. Statt alle Fälle mit einem, zwei oder mehr Treffern zu addieren, berechnet man die Wahrscheinlichkeit, dass kein einziger Treffer eintritt. Bei unabhängigen Versuchen ist das (1 − p) hoch n. Die Wahrscheinlichkeit für mindestens einen Treffer ist der Rest bis 100 Prozent.

Umgekehrt zeigt der Rechner, wie viele Versuche nötig sind, um eine gewünschte Gesamtchance zu erreichen. Dafür wird die Formel nach n aufgelöst und auf eine ganze Zahl aufgerundet. Zusätzlich gibt er die erwartete Zahl der Treffer und die Zahl der Versuche für eine Chance von 50 Prozent an.

P (mindestens ein Treffer)=1−(1−p)n; no¨tige Versuche n=ln (1−Ziel)ln (1−p) , aufgerundetP\,\left(\text{mindestens ein Treffer}\right) = 1 - \left(1 - p\right)^{n};\ \text{nötige Versuche n} = \frac{\text{ln}\,\left(1 - \text{Ziel}\right)}{\text{ln}\,\left(1 - p\right)}\,{,}\ \text{aufgerundet}

Beispiel: Bei 5 Prozent Chance pro Versuch und 20 Versuchen: Die Wahrscheinlichkeit für keinen Treffer ist 0,95²⁰ = 35,85 Prozent, für mindestens einen also 64,15 Prozent. Im Mittel gibt es 20 × 0,05 = 1 Treffer. Für 90 Prozent Gesamtchance sind ln(0,1) ÷ ln(0,95) = 44,9, also 45 Versuche nötig, für 50 Prozent 14 Versuche.

Typische Denkfehler

Ein verbreiteter Irrtum ist, Wahrscheinlichkeiten einfach zu addieren: 20 Versuche mit je 5 Prozent ergeben nicht 100 Prozent, sondern nur rund 64 Prozent. Die Rechnung mit der Gegenwahrscheinlichkeit zeigt, warum: Jeder weitere Versuch erhöht die Gesamtchance etwas weniger, weil er nur noch die verbleibenden Fälle ohne Treffer betrifft. 100 Prozent werden nie ganz erreicht.

Ebenso verbreitet ist der Gedanke, ein Treffer sei nach vielen Fehlversuchen „fällig“. Bei unabhängigen Versuchen hat der Zufall kein Gedächtnis. Die Chance beim 30. Versuch ist genauso groß wie beim ersten. Die Rechnung gilt nur für die Gesamtzahl der Versuche, die noch vor Ihnen liegen, nicht rückwirkend für bereits gescheiterte.

Die Formel setzt voraus, dass die Versuche unabhängig sind und jeder dieselbe Wahrscheinlichkeit hat. Bei Spielen mit Mitleidsmechanik, bei der die Chance nach Fehlversuchen steigt, oder beim Ziehen ohne Zurücklegen gilt sie nicht exakt. Für Ziehungen ohne Zurücklegen nutzen Sie den Rechner für die hypergeometrische Verteilung.

Spieltypische Fragen wie Drop-Chancen behandelt der Drop-Chance-Rechner, die Wahrscheinlichkeit für eine bestimmte Zahl von Treffern der Binomialverteilung-Rechner. Gewinnchancen im Lotto zeigt der Lotto-Rechner.

Tipps und typische Fehler

Chancen realistisch.

  • Nicht addieren: Gegenwahrscheinlichkeit.
  • Kein Gedächtnis: Unabhängig.
  • 100 Prozent: Nie sicher.
  • Ziel: Versuche planen.

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Häufige Fragen

Wie oft muss ich würfeln, um sicher eine Sechs zu bekommen?

Sicher nie, aber mit 13 Würfen liegt die Chance über 90 Prozent, mit 17 über 95 Prozent.

Kann ich Wahrscheinlichkeiten einfach addieren?

Nein, bei mehreren Versuchen muss man über die Gegenwahrscheinlichkeit 1 − (1 − p)ⁿ rechnen.

Wird ein Treffer nach vielen Fehlversuchen wahrscheinlicher?

Bei unabhängigen Versuchen nicht; jeder Versuch hat dieselbe Chance.

Was ist die Gegenwahrscheinlichkeit?

Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis nicht eintritt, also 1 minus seine Wahrscheinlichkeit.

Wie viele Versuche brauche ich für 50 Prozent?

Etwa 0,69 geteilt durch die Trefferchance, bei 5 Prozent also 14.

Auch gesucht als:
  • mindestens einmal Wahrscheinlichkeit
  • Gegenwahrscheinlichkeit
  • Wahrscheinlichkeit mehrere Versuche
  • 1 minus (1-p) hoch n
  • wie viele Versuche
  • Trefferchance berechnen

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