Welcher Mittelwert ist der richtige?
Im Alltag ist mit Mittelwert meist das arithmetische Mittel gemeint: alle Werte addieren und durch ihre Anzahl teilen. Es passt, wenn sich Werte addieren, etwa Ausgaben, Temperaturen oder Noten. Es gibt aber Aufgaben, bei denen es falsche Ergebnisse liefert. Für sie gibt es das geometrische und das harmonische Mittel.
Das geometrische Mittel ist die n-te Wurzel aus dem Produkt aller Werte. Es passt, wenn sich Werte multiplizieren, vor allem bei Wachstumsraten und Renditen. Steigt ein Kurs erst um 100 Prozent und fällt dann um 50 Prozent, ist man wieder am Start. Das arithmetische Mittel der Faktoren 2 und 0,5 wäre 1,25 und suggeriert Gewinn, das geometrische Mittel ist korrekt 1.
Das harmonische Mittel ist die Anzahl geteilt durch die Summe der Kehrwerte. Es passt für Verhältnisse wie Geschwindigkeiten über gleiche Strecken oder Preise pro Stück bei gleichem Budget. Wer eine Strecke hin mit 60 und zurück mit 40 Kilometern pro Stunde fährt, ist im Schnitt 48 und nicht 50 Kilometer pro Stunde schnell. Das quadratische Mittel gewichtet große Werte stärker und wird etwa für Effektivwerte in der Elektrotechnik genutzt.
Mittelwerte richtig anwenden
Für positive Zahlen gilt immer die Reihenfolge harmonisches ≤ geometrisches ≤ arithmetisches ≤ quadratisches Mittel. Gleich sind alle vier nur, wenn alle Werte gleich sind. Je stärker die Werte streuen, desto weiter liegen die Mittelwerte auseinander. Der Abstand ist damit selbst ein grobes Maß für die Streuung.
Geometrisches und harmonisches Mittel sind nur für positive Werte sinnvoll definiert. Ein Wert von null macht das Produkt zu null und den Kehrwert unendlich, negative Werte führen zu Wurzeln aus negativen Zahlen. Der Rechner gibt diese Mittel deshalb nur aus, wenn alle Werte positiv sind. Renditen rechnen Sie dafür als Faktoren um: plus 5 Prozent wird 1,05, minus 20 Prozent wird 0,8.
Der Median ist der mittlere Wert der sortierten Liste, bei gerader Anzahl der Mittelwert der beiden mittleren Werte. Er ist unempfindlich gegen Ausreißer. Bei Einkommen oder Immobilienpreisen ist er deshalb oft aussagekräftiger als das arithmetische Mittel, das von wenigen sehr hohen Werten nach oben gezogen wird.
Gewichtete Mittelwerte berechnet der Rechner für den gewichteten Mittelwert, Standardabweichung und Varianz der Statistik-Rechner. Die durchschnittliche jährliche Wachstumsrate einer Geldanlage, ein geometrisches Mittel, zeigt der CAGR-Rechner.
Tipps und typische Fehler
Passend mitteln.
- Summen: Arithmetisch.
- Wachstum: Geometrisch.
- Raten: Harmonisch.
- Ausreißer: Median.
Weitere Rechner: Mathe & Formeln
Häufige Fragen
Wann nimmt man das geometrische Mittel?
Bei Wachstumsraten, Renditen und anderen Werten, die sich multiplizieren.
Wann nimmt man das harmonische Mittel?
Bei Verhältnissen wie Geschwindigkeiten über gleiche Strecken oder Preisen bei gleichem Budget.
Warum ist das harmonische Mittel am kleinsten?
Weil kleine Werte über die Kehrwerte stärker ins Gewicht fallen; für positive Zahlen gilt HM ≤ GM ≤ AM.
Ist der Durchschnitt dasselbe wie der Mittelwert?
Umgangssprachlich ja, gemeint ist meist das arithmetische Mittel.
Was ist der Effektivwert?
Das quadratische Mittel einer Wechselgröße, etwa der Spannung im Stromnetz.
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