Die Collatz-Vermutung
Die Collatz-Folge entsteht aus einer einfachen Regel: Ist eine Zahl gerade, wird sie halbiert. Ist sie ungerade, wird sie verdreifacht und um eins erhöht. Diese Regel wendet man immer wieder auf das Ergebnis an. Der Mathematiker Lothar Collatz hat die Frage 1937 formuliert, ob jede Startzahl schließlich bei 1 ankommt.
Bis heute ist diese Vermutung weder bewiesen noch widerlegt, obwohl sie mit Computern für sehr große Startzahlen überprüft wurde. Sie gilt als Beispiel dafür, dass eine leicht verständliche Frage mathematisch sehr schwer sein kann. Ab der 1 wiederholt sich der Kreislauf 1, 4, 2, 1, deshalb endet die Rechnung beim ersten Erreichen der 1.
Der Rechner zählt die Schritte bis zur 1, bestimmt den höchsten Wert der Folge und den Schritt, in dem er erreicht wird. Außerdem unterscheidet er die Schritte mit 3n + 1 und die Halbierungen. Die Folge selbst wird vollständig angezeigt, bei sehr langen Folgen die ersten 150 Glieder.
Muster in den Folgen
Die Länge der Folgen schwankt stark und folgt keinem einfachen Muster. Die Startzahl 26 braucht nur 10 Schritte, die benachbarte 27 dagegen 111. Zweierpotenzen wie 64 oder 1.024 fallen direkt durch Halbieren auf 1. Kleine Startzahlen können sehr große Zwischenwerte erzeugen, wie die 27 mit dem Maximum 9.232 zeigt.
Auf jeden Schritt mit 3n + 1 folgt mindestens eine Halbierung, denn 3n + 1 ist bei ungeradem n immer gerade. Deshalb gibt es manchmal die verkürzte Regel, bei der beide Schritte zu (3n + 1) ÷ 2 zusammengefasst werden. Die Schrittzahl fällt dann kleiner aus. Der Rechner zählt jeden Einzelschritt, wie es in den meisten Schulbüchern üblich ist.
Die Collatz-Folge eignet sich gut für den Informatikunterricht, weil sie mit einer Schleife und einer Verzweigung programmiert werden kann. Sie können die Ergebnisse des Rechners nutzen, um ein eigenes Programm zu prüfen. Die Startzahl 6 liefert zum Beispiel die kurze Folge 6, 3, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1 mit acht Schritten.
Der Rechner lässt Startzahlen bis zehn Millionen zu. Für diesen Bereich bleiben alle Zwischenwerte im exakt darstellbaren Zahlenbereich des Browsers, und die Rechnung dauert nur Millisekunden. Für Teilbarkeit und Primzahlen nutzen Sie den Primfaktorzerlegung-Rechner.
Tipps und typische Fehler
Folgen erkunden.
- Gerade: Halbieren.
- Ungerade: Mal drei plus eins.
- Ende: Bei 1.
- Programm: Mit Schleife prüfen.
Weitere Rechner: Mathe & Formeln
Häufige Fragen
Was ist die Collatz-Folge?
Eine Zahlenfolge, bei der gerade Zahlen halbiert und ungerade Zahlen zu 3n + 1 werden, bis die 1 erreicht ist.
Ist die Collatz-Vermutung bewiesen?
Nein. Sie wurde für sehr viele Zahlen nachgerechnet, ein allgemeiner Beweis fehlt bis heute.
Warum hat die 27 so viele Schritte?
Ihre Folge steigt auf bis zu 9.232 und braucht 111 Schritte, bevor sie bei 1 ankommt. Ein einfacher Grund dafür ist nicht bekannt.
Welche Startzahl unter 100 braucht die meisten Schritte?
Die 97 mit 118 Schritten.
Wer hat die Vermutung aufgestellt?
Der Mathematiker Lothar Collatz im Jahr 1937.
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