So funktioniert das Newton-Verfahren
Viele Gleichungen lassen sich nicht mit einer Formel nach x auflösen, etwa Polynome ab dem fünften Grad oder Gleichungen ohne bequeme Struktur. Das Newton-Verfahren, auch Newton-Raphson-Verfahren genannt, nähert eine Nullstelle schrittweise an. Es gehört zu den wichtigsten numerischen Methoden und wird in der Oberstufe und im Studium behandelt.
Die Idee ist anschaulich: Am aktuellen Punkt wird die Tangente an den Graphen gelegt. Ihr Schnittpunkt mit der x-Achse ist die nächste Näherung. Rechnerisch bedeutet das, vom aktuellen x-Wert den Quotienten aus Funktionswert und Ableitung abzuziehen. Liegt der Startwert nahe genug an der Nullstelle, verdoppelt sich die Zahl der richtigen Stellen ungefähr mit jedem Schritt.
Der Rechner bildet die Ableitung des eingegebenen Polynoms automatisch, wertet Funktion und Ableitung mit dem Horner-Schema aus und bricht ab, sobald sich die Näherung praktisch nicht mehr ändert. Die Iterationstabelle zeigt alle Zwischenwerte mit zehn Nachkommastellen, sodass Sie eine Rechnung von Hand oder mit dem Taschenrechner Schritt für Schritt vergleichen können.
Startwert, Grenzen und typische Probleme
Die Wahl des Startwerts entscheidet, welche Nullstelle gefunden wird. Bei x³ − 6x² + 11x − 6 führt der Startwert 3,6 zur Nullstelle 3, ein Startwert nahe 0,5 dagegen zur Nullstelle 1. Ein Blick auf den Graphen oder eine Wertetabelle hilft, einen passenden Startwert zu finden. Sinnvoll ist ein Wert, bei dem der Graph die x-Achse in der Nähe schneidet.
Ist die Ableitung an einer Stelle null, verläuft die Tangente waagerecht und schneidet die x-Achse nicht. Der Rechner meldet dann einen Fehler. Bei f(x) = x² − 2 tritt das mit dem Startwert 0 auf. Wählen Sie in diesem Fall einen anderen Startwert. Auch in der Nähe von Extremstellen kann das Verfahren weit springen.
Hat ein Polynom keine reelle Nullstelle, wie x² + 1, kann das Verfahren nicht konvergieren. Die Näherungen springen dann hin und her, und der Status zeigt nach der Höchstzahl der Schritte an, dass keine Konvergenz erreicht wurde. Bei doppelten Nullstellen konvergiert das Verfahren nur langsam, liefert aber meist trotzdem ein brauchbares Ergebnis.
Prüfen Sie das Ergebnis immer über den Funktionswert an der Näherung. Er sollte sehr nahe bei null liegen. Für alle Nullstellen eines Polynoms bis zum vierten Grad eignet sich der Nullstellen-Rechner, für die Ableitung allgemeiner Funktionen der Ableitungsrechner.
Tipps und typische Fehler
Nullstellen annähern.
- Startwert: Nahe der Nullstelle.
- Probe: f(x) fast null.
- Ableitung: Nicht null.
- Skizze: Graph vorher ansehen.
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Häufige Fragen
Was ist das Newton-Verfahren?
Ein Näherungsverfahren für Nullstellen, bei dem schrittweise der Schnittpunkt der Tangente mit der x-Achse berechnet wird.
Wie wähle ich den Startwert?
Möglichst nahe an der gesuchten Nullstelle, zum Beispiel nach einer Skizze des Graphen oder einem Vorzeichenwechsel in der Wertetabelle.
Warum konvergiert das Verfahren nicht?
Mögliche Gründe sind eine waagerechte Tangente, ein ungünstiger Startwert oder ein Polynom ohne reelle Nullstelle.
Wie schnell konvergiert das Newton-Verfahren?
In der Nähe einer einfachen Nullstelle verdoppelt sich die Zahl richtiger Stellen etwa je Schritt.
Was tun bei waagerechter Tangente?
Einen anderen Startwert wählen, der nicht an einer Extremstelle liegt.
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