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Mathe & Formeln

Kubische Gleichung lösen

Tragen Sie die vier Koeffizienten a, b, c und d ein. Der Rechner zeigt alle reellen Lösungen der Gleichung dritten Grades.

Ihre Gleichung ax³ + bx² + cx + d = 0
Bei a = 0 wird die Gleichung als quadratische Gleichung gelöst.
Ergebnis

Wie löst man eine Gleichung dritten Grades?

Eine kubische Gleichung hat die Form ax³ + bx² + cx + d = 0 mit a ungleich 0. Anders als bei quadratischen Gleichungen gibt es immer mindestens eine reelle Lösung, denn ein Polynom dritten Grades geht für sehr große x gegen plus unendlich und für sehr kleine x gegen minus unendlich und schneidet dazwischen die x-Achse. Höchstens gibt es drei reelle Lösungen.

Der Rechner bestimmt die Lösungen exakt nach einem festen Verfahren: Zuerst wird die Gleichung mit der Ersetzung x = t − b ÷ (3a) in die reduzierte Form t³ + pt + q = 0 gebracht, in der kein quadratisches Glied mehr vorkommt. Je nach Vorzeichen des Ausdrucks (q ÷ 2)² + (p ÷ 3)³ folgt dann die Formel von Cardano für eine reelle Lösung oder die trigonometrische Lösung für drei reelle Lösungen.

Zusätzlich zeigt der Rechner die Diskriminante und die Wendestelle der zugehörigen Funktion. Setzen Sie a = 0, behandelt der Rechner die Gleichung als quadratische Gleichung bx² + cx + d = 0 und löst sie mit der Mitternachtsformel. Sind a und b beide 0, liegt keine Gleichung zweiten oder dritten Grades vor, und der Rechner meldet einen Fehler.

Δ=18 abcd−4 b3 d+b2 c2−4 ac3−27 a2 d2; reduziert: x=t−b3 a , t3+pt+q=0mit p=3 ac−b23 a2 , q=2 b3−9 abc+27 a2 d27 a3\Delta = 18\,\text{abcd} - 4\,b^{3}\,d + b^{2}\,c^{2} - 4\,\text{ac}^{3} - 27\,a^{2}\,d^{2};\ \text{reduziert}:\ x = t - \frac{b}{3\,a}\,{,}\ t^{3} + \text{pt} + q = 0\quad \text{mit}\ p = \frac{3\,\text{ac} - b^{2}}{3\,a^{2}}\,{,}\ q = \frac{2\,b^{3} - 9\,\text{abc} + 27\,a^{2}\,d}{27\,a^{3}}

Beispiel: x³ − 6x² + 11x − 6 = 0, also a = 1, b = −6, c = 11, d = −6: Die Diskriminante ist Δ = 4 und damit positiv, es gibt drei verschiedene reelle Lösungen x₁ = 1, x₂ = 2 und x₃ = 3. Die Wendestelle liegt bei x = 2. Probe: (x − 1)(x − 2)(x − 3) ergibt ausmultipliziert genau das Polynom.

Diskriminante und Sonderfälle verstehen

Die Diskriminante Δ entscheidet über die Art der Lösungen. Ist Δ positiv, hat die Gleichung drei verschiedene reelle Lösungen. Ist Δ gleich 0, fallen mindestens zwei Lösungen zusammen: Es gibt dann eine doppelte und eine einfache Lösung oder eine dreifache Lösung. Ist Δ negativ, gibt es genau eine reelle Lösung und zwei zueinander konjugiert komplexe Lösungen, die der Rechner nicht ausgibt.

Ein interessanter Fall ist der sogenannte Casus irreducibilis: Bei drei reellen Lösungen führt die Formel von Cardano über Wurzeln aus negativen Zahlen. Deshalb rechnet der Rechner in diesem Fall mit Kosinus und Arkuskosinus. Das Ergebnis ist dasselbe, aber ohne Umweg über komplexe Zahlen. Anschließend werden alle Werte mit wenigen Schritten des Newton-Verfahrens nachgeschärft, damit Rundungsfehler klein bleiben.

Wer eine Lösung schon kennt oder durch Probieren findet, etwa einen ganzzahligen Teiler von d, kann die Gleichung auch per Polynomdivision auf eine quadratische Gleichung zurückführen. Diesen Weg zeigt der Rechner für Polynomdivision, die verbleibende quadratische Gleichung löst der pq-Formel-Rechner. Für beliebige Funktionen, etwa mit Sinus oder Exponentialfunktion, eignet sich der Nullstellen-Rechner.

Die Lösungen werden auf sechs Nachkommastellen gerundet angezeigt. Bei sehr großen oder sehr unterschiedlich großen Koeffizienten können Rundungsfehler der Gleitkommarechnung sichtbar werden. Prüfen Sie wichtige Ergebnisse durch Einsetzen in die Gleichung: Der Funktionswert an einer Lösung sollte praktisch 0 sein.

Tipps und typische Fehler

Gleichungen lösen.

  • Probe: Einsetzen.
  • Raten: Teiler von d.
  • Abspalten: Polynomdivision.
  • Graph: Zur Kontrolle.

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Häufige Fragen

Wie viele Lösungen hat eine kubische Gleichung?

Mindestens eine und höchstens drei reelle Lösungen, mit komplexen Lösungen gezählt immer drei.

Was zeigt die Diskriminante einer kubischen Gleichung?

Positiv: drei verschiedene reelle Lösungen, 0: mehrfache Lösung, negativ: genau eine reelle Lösung.

Was passiert bei a = 0?

Dann wird die Gleichung als quadratische Gleichung gelöst.

Gibt es eine Formel für kubische Gleichungen?

Ja, die Formel von Cardano, bei drei reellen Lösungen ergänzt durch die trigonometrische Lösung.

Wie rate ich eine Lösung?

Ganzzahlige Lösungen sind Teiler des absoluten Glieds, wenn a = 1 ist und alle Koeffizienten ganz sind.

Auch gesucht als:
  • kubische Gleichung lösen
  • Gleichung dritten Grades
  • Cardanische Formel
  • Nullstellen Polynom 3. Grades
  • kubische Funktion Nullstellen
  • x hoch 3 Gleichung lösen

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