Was sind Polarkoordinaten?
Ein Punkt in der Ebene lässt sich auf zwei Arten beschreiben. Kartesische Koordinaten geben an, wie weit der Punkt nach rechts und nach oben vom Ursprung entfernt ist, also x und y. Polarkoordinaten geben dagegen den Abstand r vom Ursprung und den Winkel φ an, den die Verbindungslinie mit der positiven x-Achse einschließt. Der Winkel wird gegen den Uhrzeigersinn gemessen.
Polarkoordinaten sind praktisch, wenn Drehungen und Kreise im Spiel sind: bei Radar und Navigation, bei Kreisbewegungen in der Physik, bei Wechselstrom und komplexen Zahlen oder beim Zeichnen von Spiralen. Kartesische Koordinaten sind dagegen für Geraden, Rechtecke und Bildschirmpositionen bequemer. Der Rechner wandelt in beide Richtungen um.
Die Schwierigkeit bei der Umrechnung in Polarkoordinaten ist der Winkel. Der einfache Arkustangens von y ÷ x liefert nur Werte zwischen −90 und 90 Grad und unterscheidet nicht, ob der Punkt rechts oder links vom Ursprung liegt. Der Rechner verwendet deshalb die Funktion atan2, die beide Vorzeichen auswertet und den Winkel im richtigen Quadranten liefert.
Winkel, Quadranten und Sonderfälle
Für den Winkel gibt es zwei übliche Darstellungen. Der Rechner zeigt ihn im Bereich von 0 bis 360 Grad, wie er in der Geometrie und Navigation häufig verwendet wird, und zusätzlich im Bereich von −180 bis 180 Grad, wie ihn atan2 in Programmiersprachen und Taschenrechnern zurückgibt. Beide beschreiben denselben Punkt; ein Winkel von 270 Grad entspricht −90 Grad.
Die Quadranten werden gegen den Uhrzeigersinn nummeriert: Im I. Quadranten sind x und y positiv, im II. ist x negativ und y positiv, im III. sind beide negativ, im IV. ist x positiv und y negativ. Punkte auf den Achsen gehören zu keinem Quadranten. Für den Ursprung selbst ist der Winkel nicht definiert, weil jede Richtung zum selben Punkt führt; der Rechner setzt ihn dann auf 0.
Bei der Rückrechnung dürfen Sie beliebige Winkel eingeben, auch negative oder solche über 360 Grad. Sie beschreiben nach einer vollen Umdrehung wieder denselben Punkt. Der Rechner zeigt zusätzlich den auf 0 bis 360 Grad normierten Winkel. Sehr kleine Rundungsreste, wie sie bei cos(90°) entstehen, werden auf 0 gesetzt.
Im Raum werden Polarkoordinaten zu Zylinder- oder Kugelkoordinaten erweitert. Für komplexe Zahlen entspricht die Polarform genau dem Betrag und dem Argument; diese Umrechnung zeigt auch der Rechner für komplexe Zahlen. Winkel in Dreiecken berechnet der Winkelrechner, Längen und Richtungen von Vektoren der Vektorrechner.
Tipps und typische Fehler
Koordinaten umrechnen.
- atan2: Statt arctan.
- Grad: Oder Bogenmaß.
- Quadrant: Vorzeichen prüfen.
- Ursprung: Winkel offen.
Weitere Rechner: Mathe & Formeln
Häufige Fragen
Wie rechne ich kartesische Koordinaten in Polarkoordinaten um?
r = √(x² + y²) und φ = atan2(y, x), der Winkel im richtigen Quadranten.
Warum reicht der Arkustangens nicht?
Er unterscheidet nicht zwischen gegenüberliegenden Quadranten, weil y ÷ x dort dasselbe Vorzeichen hat.
Wie rechne ich Grad in Bogenmaß um?
Gradzahl mal π geteilt durch 180; 180 Grad sind π.
Was liefert atan2?
Den Winkel eines Punkts (x, y) zwischen −180 und 180 Grad im richtigen Quadranten.
Wofür braucht man Polarkoordinaten?
Für Kreisbewegungen, Navigation, Radar, Wechselstrom und komplexe Zahlen.
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