Von drei Punkten zur Ebenengleichung
Drei Punkte, die nicht auf einer gemeinsamen Geraden liegen, legen genau eine Ebene im Raum fest. In der analytischen Geometrie der Oberstufe wird diese Ebene in drei Darstellungen beschrieben: als Parameterform mit Stützvektor und zwei Spannvektoren, als Normalenform mit einem Normalenvektor und als Koordinatenform ax + by + cz = d. Der Rechner liefert alle drei Formen auf einmal.
Für die Parameterform wird der Punkt A als Stützpunkt gewählt. Die Spannvektoren sind die Verbindungsvektoren von A zu B und von A zu C. Der Normalenvektor steht senkrecht auf beiden Spannvektoren und ergibt sich über das Kreuzprodukt. Setzt man den Stützpunkt in die Gleichung n · x = d ein, erhält man die rechte Seite der Koordinatenform.
Damit die Ergebnisse gut lesbar sind, kürzt der Rechner den Normalenvektor bei ganzzahligen Werten durch den größten gemeinsamen Teiler und wählt das Vorzeichen so, dass die erste Koordinate positiv ist. Zusätzlich erhalten Sie den Abstand der Ebene zum Koordinatenursprung und den Flächeninhalt des Dreiecks ABC, der sich aus der Länge des Kreuzprodukts ergibt.
Die drei Formen sicher anwenden
Welche Form am besten passt, hängt von der Aufgabe ab. Die Parameterform eignet sich, um Punkte der Ebene zu erzeugen oder Schnitte mit Geraden in Parameterdarstellung zu berechnen. Die Koordinatenform ist ideal für Punktproben, Spurpunkte mit den Koordinatenachsen und Schnittgeraden zweier Ebenen. Die Normalenform zeigt direkt, welche Richtung senkrecht zur Ebene steht.
Eine Punktprobe mit der Koordinatenform ist schnell gemacht: Setzen Sie die Koordinaten eines Punkts ein. Ergibt sich die rechte Seite d, liegt der Punkt in der Ebene. Im Beispiel gilt für B: 4 · 2 − 0 + 3 · 1 = 11, für C: 0 − 1 + 12 = 11. Diese Kontrolle sollten Sie auch bei handschriftlichen Lösungen immer durchführen.
Liegen die drei Punkte auf einer Geraden, sind die Spannvektoren parallel und das Kreuzprodukt ist der Nullvektor. Dann gibt es unendlich viele Ebenen durch die Punkte, und der Rechner meldet einen Fehler. Prüfen Sie in diesem Fall die Eingaben oder wählen Sie einen anderen dritten Punkt, der nicht auf der Geraden durch A und B liegt.
Die Spurpunkte erhalten Sie aus der Koordinatenform, indem Sie zwei Koordinaten null setzen. Im Beispiel schneidet die Ebene die x-Achse bei x = 11 ÷ 4 = 2,75, die y-Achse bei y = −11 und die z-Achse bei z = 11 ÷ 3. Für Abstände von Punkten zur Ebene teilen Sie den Betrag von n · P − d durch die Länge des Normalenvektors.
Tipps und typische Fehler
Ebenen sicher aufstellen.
- Kreuzprodukt: Ergibt den Normalenvektor.
- Probe: Alle Punkte einsetzen.
- Kürzen: Normalenvektor vereinfachen.
- Kollinear: Keine Ebene.
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Häufige Fragen
Wie bestimme ich eine Ebene aus drei Punkten?
Bilden Sie zwei Spannvektoren ab Punkt A, berechnen Sie deren Kreuzprodukt als Normalenvektor und setzen Sie A in n · x = d ein.
Wie wandle ich die Parameterform in die Koordinatenform um?
Über das Kreuzprodukt der Spannvektoren erhalten Sie den Normalenvektor, die rechte Seite ergibt sich aus dem Skalarprodukt mit dem Stützvektor.
Warum meldet der Rechner einen Fehler?
Die drei Punkte liegen auf einer Geraden oder sind gleich. Dann ist keine eindeutige Ebene festgelegt.
Wie mache ich eine Punktprobe?
Punkt in die Koordinatenform einsetzen; ergibt sich die rechte Seite, liegt er in der Ebene.
Wie finde ich die Spurpunkte einer Ebene?
In der Koordinatenform jeweils zwei Koordinaten null setzen und nach der dritten auflösen.
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