Drei Wege, einen Punkt im Raum anzugeben
Ein Punkt im dreidimensionalen Raum lässt sich auf verschiedene Arten beschreiben. Kartesische Koordinaten geben die Abstände entlang der drei Achsen x, y und z an. Kugelkoordinaten beschreiben denselben Punkt durch den Abstand r vom Ursprung und zwei Winkel. Zylinderkoordinaten kombinieren beides: einen Abstand ρ von der z-Achse, einen Winkel φ in der x-y-Ebene und die Höhe z.
Welches System günstig ist, hängt von der Aufgabe ab. Kugelkoordinaten eignen sich für alles, was rund um einen Mittelpunkt angeordnet ist, etwa Felder einer Punktladung, Abstrahlcharakteristiken von Antennen oder Positionen auf einer Kugeloberfläche. Zylinderkoordinaten passen zu Rohren, Spulen, rotierenden Wellen und allem, was um eine Achse symmetrisch ist.
Der Rechner verwendet die in Physik und Technik übliche Konvention nach ISO 80000-2: θ ist der Polarwinkel zur positiven z-Achse von 0° bis 180°, φ der Azimut in der x-y-Ebene von 0° bis 360°, gemessen ab der positiven x-Achse gegen den Uhrzeigersinn. Zusätzlich zeigt er den Elevationswinkel 90° − θ, wie er in der Geografie als Breite verwendet wird.
Konventionen und Stolperfallen
In Mathematikbüchern, vor allem aus dem englischsprachigen Raum, sind die Bezeichnungen θ und φ oft vertauscht: Dort ist θ der Azimut und φ der Polarwinkel. Die Formeln bleiben gleich, nur die Namen ändern sich. Prüfen Sie deshalb in Ihrer Aufgabe, welcher Winkel zur z-Achse gemessen wird. In der Geografie wird statt des Polarwinkels die Breite verwendet, die vom Äquator aus zählt.
Beim Azimut reicht der Arkustangens allein nicht aus, weil er nicht zwischen gegenüberliegenden Quadranten unterscheidet. Der Rechner nutzt deshalb die Funktion atan2, die die Vorzeichen von x und y berücksichtigt. Ein Punkt mit x = 1 und y = −1 liegt so korrekt bei 315° und nicht bei −45° oder 135°. Negative Eingabewinkel bei der Rückrechnung sind erlaubt.
Im Ursprung und auf der z-Achse sind nicht alle Winkel bestimmt: Für x = y = 0 hat φ keinen eindeutigen Wert, im Ursprung zusätzlich θ. Der Rechner gibt in diesen Fällen 0° an. Rundungen auf vier Nachkommastellen führen bei der Rückrechnung zu kleinen Abweichungen; mit 22,62° und 53,13° statt der exakten Werte erhalten Sie etwa x = 3,0000 und y = 4,0000.
Für ebene Polarkoordinaten mit nur zwei Dimensionen nutzen Sie den Polarkoordinaten-Rechner. Volumen und Oberfläche von Kugeln berechnet der Kugel-Rechner, Beträge, Skalar- und Kreuzprodukte von Vektoren der Vektorrechner. Bei Integralen über Kugeln denken Sie an die Funktionaldeterminante r² · sin θ, bei Zylindern an ρ.
Tipps und typische Fehler
Koordinaten wechseln.
- Konvention: θ und φ prüfen.
- atan2: Für den Quadranten.
- Grad: Nicht Bogenmaß.
- Ursprung: Winkel unbestimmt.
Weitere Rechner: Mathe & Formeln
Häufige Fragen
Was sind Kugelkoordinaten?
Eine Darstellung eines Raumpunkts durch Abstand r zum Ursprung, Polarwinkel θ und Azimutwinkel φ.
Wie rechne ich kartesische Koordinaten in Kugelkoordinaten um?
r = √(x² + y² + z²), θ = arccos(z ÷ r), φ = atan2(y, x).
Was ist der Unterschied zu Zylinderkoordinaten?
Zylinderkoordinaten nutzen den Abstand ρ zur z-Achse und die Höhe z statt r und θ.
Welcher Winkel ist θ und welcher φ?
In Physik und Technik ist θ der Winkel zur z-Achse und φ der Azimut; in manchen Mathebüchern umgekehrt.
Wie groß ist das Volumenelement in Kugelkoordinaten?
dV = r² · sin θ · dr · dθ · dφ.
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