Wie Computer Kommazahlen speichern
Fast alle Computer speichern Kommazahlen nach dem Standard IEEE 754. Eine Zahl wird dabei in drei Teile zerlegt: ein Vorzeichenbit, einen Exponenten und eine Mantisse. Das Prinzip entspricht der wissenschaftlichen Schreibweise, nur zur Basis 2: Die Zahl wird als 1,Mantisse mal 2 hoch Exponent geschrieben. Die führende 1 wird nicht gespeichert, weil sie bei normalisierten Zahlen immer vorhanden ist.
Single Precision nutzt 32 Bit: 1 Vorzeichenbit, 8 Bit Exponent und 23 Bit Mantisse, das ergibt etwa 7 gültige Dezimalstellen. Double Precision nutzt 64 Bit mit 11 Bit Exponent und 52 Bit Mantisse, also rund 15 bis 16 Dezimalstellen. Der Exponent wird mit einem Versatz, dem Bias, gespeichert: 127 bei Single und 1023 bei Double. So lassen sich auch negative Exponenten ohne eigenes Vorzeichen darstellen.
Der Rechner zeigt das vollständige Bitmuster, getrennt nach den drei Feldern, dazu die Hexadezimaldarstellung, wie sie in Debuggern und Speicherauszügen erscheint, sowie den gespeicherten und den tatsächlichen Exponenten. Außerdem sehen Sie den exakten Wert, der im Speicher landet, und bei Single den Rundungsfehler gegenüber Ihrer Eingabe.
Rundungsfehler und Sonderfälle
Viele einfache Dezimalzahlen wie 0,1 oder 0,2 lassen sich im Binärsystem nicht exakt darstellen, ähnlich wie ein Drittel im Dezimalsystem nicht endet. Die Mantisse wird deshalb auf die nächste darstellbare Zahl gerundet. Daraus erklärt sich, warum in vielen Programmiersprachen 0,1 + 0,2 nicht genau 0,3 ergibt. Zahlen wie 0,5, 0,25 oder −6,5 sind dagegen exakt darstellbar, weil sie endliche Binärbrüche sind.
Der Abstand zur nächsten darstellbaren Zahl, kurz ULP, wächst mit der Größe der Zahl. Bei Single liegen zwischen 16.777.216 und 33.554.432 nur noch gerade Zahlen; ungerade ganze Zahlen werden gerundet. Für Geldbeträge sind Gleitkommazahlen deshalb ungeeignet. Dort rechnet man besser mit ganzen Cent-Beträgen oder Dezimaltypen.
Ist der gespeicherte Exponent 0, liegt eine subnormale Zahl vor. Sie hat keine führende 1 und füllt die Lücke zwischen der kleinsten normalisierten Zahl und null, allerdings mit abnehmender Genauigkeit. Der Exponent aus lauter Einsen ist für Unendlich und NaN reserviert. Zahlen, die für das gewählte Format zu groß sind, meldet der Rechner als Überlauf.
Beim Double-Format arbeitet der Rechner selbst mit Double-Zahlen. Ihre Eingabe wird daher bereits beim Einlesen auf Double gerundet, und ein Rundungsfehler gegenüber der Dezimaleingabe lässt sich nicht angeben; der exakt gespeicherte Wert wird aber angezeigt. Ganze Zahlen in Binär- und Hexdarstellung rechnet der Zahlensysteme-Rechner um, bitweise Verknüpfungen der Bitoperationen-Rechner.
Tipps und typische Fehler
Gleitkomma verstehen.
- 0,1: Nie exakt.
- Vergleiche: Mit Toleranz.
- Geld: In Cent rechnen.
- Double: Meist ausreichend.
Weitere Rechner: Mathe & Formeln
Häufige Fragen
Warum ist 0,1 + 0,2 nicht 0,3?
Weil 0,1 und 0,2 binär nicht exakt darstellbar sind und die Rundungsfehler sich addieren.
Wie viele Stellen hat ein float?
Single Precision hat etwa 7, Double Precision etwa 15 bis 16 gültige Dezimalstellen.
Was ist der Bias im Exponenten?
Ein fester Versatz von 127 (Single) bzw. 1023 (Double), damit der Exponent ohne Vorzeichen gespeichert wird.
Was ist eine subnormale Zahl?
Eine sehr kleine Zahl mit Exponentfeld 0, die ohne führende 1 gespeichert wird.
Wie groß kann ein float werden?
Single Precision reicht bis etwa 3,4 · 10^38, Double bis etwa 1,8 · 10^308.
- IEEE 754 Rechner
- Gleitkommazahl umrechnen
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- Double Precision Bits
- Mantisse Exponent berechnen
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