Wann eine Parabel besser passt als eine Gerade
Nicht jeder Zusammenhang ist linear. Der Bremsweg wächst mit dem Quadrat der Geschwindigkeit, die Flugbahn eines Balls ist eine Parabel, und viele Kostenverläufe haben ein Minimum. Legt man durch solche Daten eine Gerade, bleiben systematische Abweichungen: Die Punkte liegen in der Mitte unterhalb und an den Rändern oberhalb der Geraden oder umgekehrt. Die quadratische Regression nimmt die Krümmung mit auf.
Gesucht sind die drei Koeffizienten a, b und c, für die die Summe der quadrierten senkrechten Abstände aller Punkte zur Parabel am kleinsten ist. Das führt auf ein lineares Gleichungssystem mit drei Unbekannten, die sogenannten Normalgleichungen. Der Rechner löst es mit zentrierten x-Werten, was auch bei großen Zahlen wie Jahreszahlen stabile Ergebnisse liefert.
Neben der Gleichung erhalten Sie das Bestimmtheitsmaß R², den Scheitelpunkt der Parabel mit Angabe, ob es ein Hoch- oder Tiefpunkt ist, die Summe der Fehlerquadrate und den Prognosewert an einer frei wählbaren Stelle.
Ergebnisse richtig einordnen
Ein hohes R² zeigt, dass die Parabel die vorhandenen Punkte gut beschreibt. Es beweist aber nicht, dass der Zusammenhang wirklich quadratisch ist. Weil die Parabel einen Parameter mehr hat als die Gerade, passt sie fast immer etwas besser. Vergleichen Sie deshalb mit der linearen Regression: Bringt die Parabel nur eine kleine Verbesserung, ist das einfachere Modell meist vorzuziehen.
Mit genau drei Punkten verläuft die Parabel exakt durch alle drei, R² ist dann 1, auch wenn die Messwerte fehlerbehaftet sind. Aussagekräftig wird die Regression erst mit deutlich mehr Punkten als Parametern. Als grobe Regel gelten mindestens fünf bis sechs Wertepaare, besser mehr.
Vorsicht bei Prognosen außerhalb des gemessenen Bereichs. Eine Parabel steigt oder fällt nach beiden Seiten immer schneller, während reale Größen oft abflachen oder an Grenzen stoßen. Innerhalb der Messreihe sind Prognosen verlässlicher als weit außerhalb. Ähnliches gilt für den Scheitelpunkt: Liegt er außerhalb der Daten, ist er nur eine rechnerische Größe.
Wächst die Größe nicht quadratisch, sondern um einen festen Prozentsatz, beschreibt eine Exponentialfunktion die Daten besser. Dafür gibt es den Rechner für exponentielle Regression. Wie eng zwei Größen linear zusammenhängen, zeigt der Korrelationskoeffizient.
Tipps und typische Fehler
Kurven anpassen.
- Mehr Punkte: Als Parameter.
- Vergleich: Mit Gerade.
- Prognose: Nur im Messbereich.
- Scheitel: Hoch- oder Tiefpunkt.
Weitere Rechner: Mathe & Formeln
Häufige Fragen
Was ist eine quadratische Regression?
Die Bestimmung der Parabel y = ax² + bx + c, die nach der Methode der kleinsten Quadrate am besten zu den Messpunkten passt.
Wie viele Wertepaare brauche ich?
Mindestens drei verschiedene x-Werte. Für eine aussagekräftige Regression sollten es deutlich mehr sein.
Was bedeutet R² = 0,95?
Die Parabel erklärt 95 Prozent der Streuung der y-Werte, 5 Prozent bleiben als Abweichung.
Kann ich Jahreszahlen als x-Werte nehmen?
Ja, der Rechner zentriert die x-Werte intern und rechnet daher auch mit großen Zahlen stabil.
Woran erkenne ich, dass eine Gerade reicht?
Wenn a nahe null ist und R² gegenüber der linearen Regression kaum steigt.
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