Wachstum und Zerfall aus Messwerten bestimmen
Exponentielles Wachstum bedeutet, dass eine Größe in gleichen Abständen um denselben Faktor zunimmt, etwa jedes Jahr um 5 Prozent. Exponentieller Zerfall ist das Gegenstück, bei dem die Größe in gleichen Abständen um denselben Anteil abnimmt. Beispiele sind Bakterienkulturen, Zinseszins, radioaktiver Zerfall oder das Abkühlen eines Getränks, genauer der Temperaturunterschied zur Umgebung.
Das Modell lautet y = a · bˣ. Dabei ist a der Wert bei x = 0 und b der Wachstumsfaktor pro x-Einheit. Ist b größer als 1, wächst die Größe, ist b kleiner als 1, nimmt sie ab. Gleichwertig ist die Schreibweise y = a · eᵏˣ mit der Wachstumskonstanten k = ln b. Der Rechner gibt beide Formen an.
Um die Parameter zu bestimmen, logarithmiert der Rechner alle y-Werte. Aus der Exponentialfunktion wird dadurch eine Gerade: ln y = ln a + k · x. Auf diese Gerade wird die lineare Regression angewendet, anschließend werden a und b zurückgerechnet. Deshalb müssen alle y-Werte positiv sein.
Was die Kennzahlen bedeuten
Die prozentuale Änderung je x-Einheit ist (b − 1) · 100. Ein Faktor von 1,05 bedeutet 5 Prozent Wachstum je Einheit, ein Faktor von 0,8198 einen Rückgang um gut 18 Prozent. Achten Sie darauf, in welcher Einheit x gemessen wird: Messen Sie in Wochen, gilt die Rate pro Woche, nicht pro Tag.
Die Verdopplungszeit gibt an, nach wie vielen x-Einheiten sich der Wert verdoppelt hat, die Halbwertszeit, nach wie vielen er auf die Hälfte gesunken ist. Beide sind bei exponentiellen Vorgängen konstant, unabhängig vom Startwert. Eine Faustregel für kleine Wachstumsraten ist die 70er-Regel: 70 geteilt durch den Prozentsatz ergibt ungefähr die Verdopplungszeit.
Der Rechner zeigt zwei Bestimmtheitsmaße. Das erste bezieht sich auf die logarithmierten Werte, also auf die Gerade, die tatsächlich angepasst wurde. Das zweite misst, wie gut die Kurve die ursprünglichen y-Werte trifft. Weil die Logarithmierung kleine Werte stärker gewichtet, können beide etwas voneinander abweichen.
Reales Wachstum ist selten dauerhaft exponentiell. Populationen stoßen an Grenzen, Märkte sättigen sich. Prüfen Sie daher, ob die Punkte im logarithmischen Maßstab wirklich auf einer Geraden liegen, und seien Sie bei Prognosen weit über die Daten hinaus vorsichtig. Für gekrümmte Verläufe ohne festen Faktor ist eine quadratische Regression eine Alternative.
Tipps und typische Fehler
Wachstum messen.
- y positiv: Sonst kein Logarithmus.
- Einheit: Rate je x-Schritt.
- 70er-Regel: Schnell schätzen.
- Grenzen: Wachstum flacht ab.
Weitere Rechner: Mathe & Formeln
Häufige Fragen
Was ist eine exponentielle Regression?
Die Anpassung einer Funktion y = a · bˣ an Messwerte, meist über die lineare Regression der logarithmierten y-Werte.
Warum müssen alle y-Werte positiv sein?
Der Logarithmus von null oder negativen Zahlen ist nicht definiert, die Linearisierung funktioniert dann nicht.
Wie berechne ich die Verdopplungszeit?
Teilen Sie ln 2 ≈ 0,693 durch die Wachstumskonstante k.
Was bedeutet ein Wachstumsfaktor von 1,1?
Der Wert steigt pro x-Einheit um 10 Prozent.
Kann ich auch Zerfall auswerten?
Ja, dann ist der Faktor kleiner als 1 und der Rechner gibt eine Halbwertszeit aus.
- exponentielle Regression
- Exponentialfunktion aus Messwerten
- Wachstumsrate berechnen
- Halbwertszeit aus Daten
- Verdopplungszeit berechnen
- exponentielle Ausgleichskurve
Alle Berechnungen erfolgen direkt in Ihrem Browser, Ihre Eingaben werden nicht übertragen oder gespeichert. Die Ergebnisse sind Orientierungswerte ohne Gewähr und ersetzen keine steuerliche, rechtliche oder finanzielle Beratung. Die Erklärtexte auf dieser Seite wurden mit KI erstellt. Letzte inhaltliche Änderung dieser Seite: . Mehr dazu: So entstehen und prüfen wir die Rechner.