Pfadregel und Summenregel
Ein Baumdiagramm stellt ein mehrstufiges Zufallsexperiment als verzweigten Graphen dar. Von der Wurzel gehen die Äste der ersten Stufe ab, hier A und nicht A. An jedem Ende verzweigt sich der Baum erneut in B und nicht B. Auf jeden Ast schreibt man die Wahrscheinlichkeit, mit der er unter den bisherigen Bedingungen eingeschlagen wird. Die Äste, die von einem Punkt ausgehen, ergänzen sich immer zu 100 Prozent.
Die erste Pfadregel, auch Produktregel genannt, sagt: Die Wahrscheinlichkeit eines Pfades ist das Produkt der Wahrscheinlichkeiten auf seinen Ästen. Die zweite Pfadregel, die Summenregel, sagt: Gehören mehrere Pfade zum selben Ereignis, addiert man ihre Wahrscheinlichkeiten. Mit diesen beiden Regeln lassen sich alle Fragen an ein zweistufiges Experiment beantworten.
Der Rechner zeigt die vier Pfade einzeln, P(B) und P(nicht B) als Summen sowie zwei Rückwärtswahrscheinlichkeiten. Diese beantworten die umgekehrte Frage: Wie wahrscheinlich war A, wenn man am Ende B beobachtet hat? Als Kontrolle steht die Summe aller Pfade dabei, die immer 100 Prozent ergeben muss.
Typische Fehler und Varianten
Der häufigste Fehler ist, auf der zweiten Stufe unbedingte statt bedingte Wahrscheinlichkeiten einzutragen. Die 90 Prozent im Beispiel gelten nur für diejenigen, die gelernt haben, nicht für die ganze Klasse. Lesen Sie Aufgabentexte daher genau: Formulierungen wie „von denen, die …“ oder „falls …“ weisen auf eine bedingte Wahrscheinlichkeit hin.
Sind die beiden Stufen unabhängig, haben die Äste der zweiten Stufe überall dieselben Werte, P(B | A) ist dann gleich P(B | nicht A). Das ist etwa beim zweimaligen Münzwurf so. Hängt die zweite Stufe von der ersten ab, wie beim Ziehen ohne Zurücklegen, unterscheiden sich die Werte. Für Ziehungen aus einer Urne mit mehreren Kugeln gibt es einen eigenen Rechner, der auch längere Ziehungen auswertet.
Die Rückwärtswahrscheinlichkeit P(A | B) ist nichts anderes als der Satz von Bayes. Man kann sie auch über einen umgekehrten Baum bestimmen, der zuerst nach B und dann nach A verzweigt. Dieselben vier Pfadwerte bilden die inneren Felder einer Vierfeldertafel. Beide Darstellungen enthalten also dieselbe Information, nur anders angeordnet.
Prozentwerte geben Sie mit Dezimalpunkt oder Komma ein, je nach Browser. Für mehr als zwei Stufen multiplizieren Sie einfach weiter: Ein Pfad über drei Äste hat die Wahrscheinlichkeit des Produkts aller drei Werte.
Tipps und typische Fehler
Bäume rechnen.
- Entlang: Multiplizieren.
- Mehrere Pfade: Addieren.
- Zweite Stufe: Bedingt.
- Kontrolle: Summe 100 %.
Weitere Rechner: Mathe & Formeln
Häufige Fragen
Wie berechne ich die Wahrscheinlichkeit eines Pfades?
Multiplizieren Sie die Wahrscheinlichkeiten aller Äste entlang des Pfades.
Wann verwende ich die Summenregel?
Wenn mehrere Pfade zum selben Ergebnis führen. Dann addieren Sie deren Pfadwahrscheinlichkeiten.
Wie bekomme ich P(A | B) aus dem Baum?
Teilen Sie die Wahrscheinlichkeit des Pfades A → B durch P(B).
Was ist ein umgekehrtes Baumdiagramm?
Ein Baum, der zuerst nach B und dann nach A verzweigt; er liefert P(A | B) direkt an den Ästen.
Müssen sich die Äste zu 100 Prozent ergänzen?
Ja, alle Äste, die von einem Punkt ausgehen, ergeben zusammen 100 Prozent.
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