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Urnenmodell berechnen

Geben Sie an, wie viele Kugeln in der Urne liegen, wie viele davon markiert sind, wie oft gezogen wird und ob mit oder ohne Zurücklegen.

Urne und Ziehung
Ergebnis

Ein Modell für viele Zufallsexperimente

Das Urnenmodell ist das Standardbild der Wahrscheinlichkeitsrechnung: Eine Urne enthält N Kugeln, K davon sind markiert, etwa rot. Man zieht n Kugeln und fragt, wie viele markierte darunter sind. Viele reale Situationen lassen sich so beschreiben, zum Beispiel Stichproben aus einer Lieferung, Kartenspiele, Lostrommeln oder die Auswahl von Personen aus einer Gruppe.

Entscheidend ist, ob eine gezogene Kugel zurückgelegt wird. Mit Zurücklegen bleibt die Urne bei jedem Zug gleich, die Trefferwahrscheinlichkeit beträgt stets K ÷ N. Die Zahl der Treffer folgt dann der Binomialverteilung. Ohne Zurücklegen verändert jeder Zug den Inhalt; zieht man eine rote Kugel, sinkt die Chance auf die nächste rote. Hier gilt die hypergeometrische Verteilung.

Der Rechner gibt die Wahrscheinlichkeit für genau k, höchstens k und mindestens k markierte Kugeln aus. Dazu kommen die Chance auf mindestens eine markierte Kugel, die Wahrscheinlichkeit einer bestimmten Reihenfolge, der Erwartungswert und die Standardabweichung.

ohne Zuru¨cklegen: P (X=k)=C (K , k)⋅C (N−K , n−k)C (N , n); mit Zuru¨cklegen: P (X=k)=C (n , k)⋅p ᵏ⋅(1−p)n− ᵏ , p=KN\text{ohne Zurücklegen}:\ P\,\left(X = k\right) = \frac{C\,\left(K\,{,}\ k\right) \cdot C\,\left(N - K\,{,}\ n - k\right)}{C\,\left(N\,{,}\ n\right)};\ \quad \text{mit}\ \text{Zurücklegen}:\ P\,\left(X = k\right) = C\,\left(n\,{,}\ k\right) \cdot p\,ᵏ \cdot \left(1 - p\right)^{n-}\,ᵏ\,{,}\ p = \frac{K}{N}

Beispiel: In einer Urne liegen 10 Kugeln, 4 davon rot. Sie ziehen 3 Kugeln ohne Zurücklegen. Für genau 2 rote gibt es C(4, 2) · C(6, 1) = 6 · 6 = 36 günstige von C(10, 3) = 120 möglichen Auswahlen, also 30 Prozent. Mindestens eine rote ziehen Sie mit 1 − 20 ÷ 120 = 83,33 Prozent. Die feste Reihenfolge rot, rot, andere hat die Wahrscheinlichkeit 4/10 · 3/9 · 6/8 = 10 Prozent. Mit Zurücklegen wären es für genau 2 rote 3 · 0,4² · 0,6 = 28,8 Prozent.

Reihenfolge, Erwartungswert und Grenzfälle

Der Unterschied zwischen „genau 2 rote“ und „erst 2 rote, dann eine andere“ ist wichtig. Die erste Frage lässt jede Reihenfolge zu, im Beispiel gibt es drei Positionen für die nicht rote Kugel. Deshalb ist P(X = 2) mit 30 Prozent dreimal so groß wie die Wahrscheinlichkeit der festen Reihenfolge mit 10 Prozent. Im Baumdiagramm entspricht die feste Reihenfolge einem einzelnen Pfad.

Der Erwartungswert ist in beiden Modellen gleich: n · K ÷ N, im Beispiel 3 · 0,4 = 1,2 rote Kugeln. Die Streuung ist ohne Zurücklegen aber kleiner, weil die Urne sich leert und extreme Ergebnisse unwahrscheinlicher werden. Der Korrekturfaktor beträgt (N − n) ÷ (N − 1). Bei großen Urnen und wenigen Ziehungen liegt er nahe 1, dann liefern beide Modelle fast dieselben Werte.

Ohne Zurücklegen können Sie höchstens so viele Kugeln ziehen, wie in der Urne liegen. Außerdem sind manche Ergebnisse unmöglich: Wer aus einer Urne mit 4 roten Kugeln 3 zieht, kann nicht mehr als 3 rote bekommen, und wer 8 von 10 Kugeln zieht, bekommt mindestens 2 rote, weil nur 6 andere vorhanden sind. Der Rechner berücksichtigt das automatisch.

Lotto ist ein klassisches Urnenmodell ohne Zurücklegen: 49 Kugeln, 6 davon sind Ihre Tipps, 6 werden gezogen. Für Zählfragen ohne Wahrscheinlichkeiten, etwa wie viele Auswahlen es überhaupt gibt, nutzen Sie den Kombinatorik-Rechner.

Tipps und typische Fehler

Ziehungen planen.

  • Zurücklegen: Modell wählen.
  • Genau k: Alle Reihenfolgen.
  • Mindestens eine: Gegenereignis.
  • Erwartung: n · K ÷ N.

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Häufige Fragen

Wann ziehe ich mit und wann ohne Zurücklegen?

Wird die gezogene Kugel vor dem nächsten Zug wieder in die Urne gelegt, ist es mit Zurücklegen, sonst ohne. Stichproben aus einer Lieferung sind meist ohne Zurücklegen.

Welche Verteilung gilt ohne Zurücklegen?

Die hypergeometrische Verteilung. Mit Zurücklegen ist es die Binomialverteilung.

Warum ist eine feste Reihenfolge unwahrscheinlicher?

Weil sie nur einen von mehreren Pfaden zum selben Ergebnis umfasst.

Wie groß ist die Chance, aus 10 Kugeln mit 4 roten bei 3 Zügen keine rote zu ziehen?

Ohne Zurücklegen 20 von 120 Auswahlen, also 16,67 Prozent.

Wann sind mit und ohne Zurücklegen fast gleich?

Wenn die Urne viel größer ist als die Zahl der Ziehungen.

Auch gesucht als:
  • Urnenmodell
  • Ziehen ohne Zurücklegen
  • Ziehen mit Zurücklegen
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  • Urne Wahrscheinlichkeit berechnen

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