Wie man Ungleichungen löst
Eine Ungleichung vergleicht zwei Terme mit kleiner, kleiner gleich, größer oder größer gleich. Anders als eine Gleichung hat sie meist nicht eine einzelne Lösung, sondern einen ganzen Bereich von Zahlen. Das Ergebnis ist deshalb eine Lösungsmenge, die man als Bedingung wie x > −3 oder in Intervallschreibweise wie (−3; ∞) angibt. Runde Klammern bedeuten, dass der Randpunkt nicht dazugehört, eckige, dass er dazugehört.
Lineare Ungleichungen löst man fast wie Gleichungen: Zahlen auf eine Seite, x auf die andere, dann durch den Faktor vor x teilen. Es gibt eine wichtige Ausnahme. Wer mit einer negativen Zahl multipliziert oder durch sie teilt, muss das Zeichen umdrehen. Aus −2x < 6 wird x > −3. Der Rechner weist bei diesem Schritt ausdrücklich darauf hin.
Bei quadratischen Ungleichungen helfen die Nullstellen der Parabel. Ist a positiv, ist die Parabel nach oben geöffnet: Zwischen den Nullstellen liegt sie unter der x-Achse, außerhalb darüber. Ist a negativ, wird die Ungleichung zuerst mit −1 multipliziert und das Zeichen gedreht. Die Diskriminante entscheidet, ob es zwei, eine oder keine Nullstelle gibt.
Sonderfälle und Anwendungen
Hat die Parabel keine Nullstelle, ist die Diskriminante negativ. Dann liegt eine nach oben geöffnete Parabel komplett über der x-Achse. Eine Ungleichung mit > 0 oder ≥ 0 gilt für alle reellen Zahlen, eine mit < 0 oder ≤ 0 für keine. Bei einer doppelten Nullstelle berührt die Parabel die Achse nur in einem Punkt; dann kann die Lösung ein einzelner Wert sein oder alle Zahlen außer diesem Punkt.
Auch bei linearen Ungleichungen gibt es einen Sonderfall: Ist a = 0, fällt x weg, und es bleibt eine Aussage über zwei Zahlen. Ist sie wahr, gilt die Ungleichung für jedes x, ist sie falsch, hat sie keine Lösung. Für quadratische Ungleichungen darf a dagegen nicht 0 sein, sonst wäre die Ungleichung nicht quadratisch; wählen Sie dann die lineare Form.
Ungleichungen kommen überall vor, wo Grenzen eingehalten werden müssen: Ab welcher Stückzahl lohnt sich eine Maschine, bei welcher Geschwindigkeit bleibt der Bremsweg unter 40 Metern, in welchem Bereich liegt ein Gewinn über null? Gerade bei Gewinnfunktionen mit quadratischem Term liefert der Rechner sofort den Bereich, in dem sich ein Vorhaben trägt.
Bringen Sie Ihre Ungleichung vor der Eingabe in die passende Form. Bei quadratischen Aufgaben muss rechts 0 stehen: Aus x² > 2x + 3 wird x² − 2x − 3 > 0. Die Nullstellen allein berechnen Sie auch mit dem pq-Formel-Rechner, Gleichungen ohne Ungleichheitszeichen mit dem Lineare-Gleichung-Rechner. Zur Kontrolle können Sie einen Wert aus der Lösungsmenge in die ursprüngliche Ungleichung einsetzen.
Tipps und typische Fehler
Ungleichungen sicher lösen.
- Negativ: Zeichen drehen.
- Null: Rechts bei Quadrat.
- Skizze: Parabel zeichnen.
- Test: Wert einsetzen.
Weitere Rechner: Mathe & Formeln
Häufige Fragen
Wann dreht sich das Ungleichheitszeichen um?
Beim Multiplizieren oder Dividieren beider Seiten mit einer negativen Zahl.
Was bedeuten runde und eckige Klammern?
Runde Klammern schließen den Randpunkt aus, eckige schließen ihn ein.
Wie löse ich eine quadratische Ungleichung?
Alles auf eine Seite bringen, Nullstellen bestimmen und an der Öffnung der Parabel ablesen, wo sie über oder unter null liegt.
Was ist die Intervallschreibweise?
Eine Kurzform für Zahlenbereiche mit Klammern, etwa [−1; 3] für alle Zahlen von −1 bis 3.
Kann eine Ungleichung keine Lösung haben?
Ja, etwa x² < −1, denn ein Quadrat ist nie negativ.
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