Was der Standardfehler aussagt
Die Standardabweichung beschreibt, wie stark einzelne Messwerte streuen. Der Standardfehler beschreibt etwas anderes: wie stark der Mittelwert schwanken würde, wenn man die Stichprobe viele Male neu ziehen würde. Er ist damit ein Maß für die Genauigkeit der Schätzung. Je größer die Stichprobe, desto kleiner der Standardfehler, denn zufällige Abweichungen gleichen sich im Mittel aus.
Berechnet wird er als Standardabweichung geteilt durch die Wurzel aus n. Diese Wurzel ist der Grund, warum mehr Daten nur langsam helfen: Um den Standardfehler zu halbieren, braucht man die vierfache Stichprobe. Bei 25 Messungen und s = 10 beträgt der Standardfehler 2, bei 100 Messungen 1. Der Rechner zeigt deshalb auch, wie groß n für einen halb so großen Fehler sein müsste.
Aus dem Standardfehler entsteht das Konfidenzintervall: Mittelwert plus und minus kritischer Wert mal Standardfehler. Wird die Standardabweichung aus derselben Stichprobe geschätzt, ist die t-Verteilung mit n − 1 Freiheitsgraden der richtige Maßstab. Sie hat bei kleinen Stichproben breitere Ränder als die Normalverteilung und liefert damit ehrlichere, etwas breitere Intervalle.
Endliche Grundgesamtheit und richtige Interpretation
Die übliche Formel geht davon aus, dass die Grundgesamtheit sehr groß ist. Zieht man aber 25 von nur 200 Personen, ist schon ein spürbarer Teil erfasst, und die Unsicherheit ist kleiner. Die Endlichkeitskorrektur berücksichtigt das mit dem Faktor Wurzel aus (N − n) geteilt durch (N − 1). Im Beispiel beträgt er 0,9378, der Standardfehler sinkt von 2 auf 1,8755. Wird die gesamte Grundgesamtheit befragt, fällt der Fehler auf null.
Ein 95-Prozent-Konfidenzintervall bedeutet nicht, dass der wahre Mittelwert mit 95 Prozent Wahrscheinlichkeit darin liegt. Gemeint ist: Würde man das Verfahren sehr oft wiederholen, enthielten 95 Prozent der so berechneten Intervalle den wahren Wert. Für die Praxis reicht meist die Lesart, dass das Intervall den Bereich plausibler Werte für den Mittelwert angibt.
Der Standardfehler erfasst nur den Zufall der Stichprobenziehung. Systematische Fehler wie eine verzerrte Auswahl, Messfehler oder viele Antwortverweigerungen bleiben unberücksichtigt. Eine Online-Umfrage mit 10.000 Teilnehmenden hat einen winzigen Standardfehler, kann aber trotzdem weit danebenliegen, wenn nur bestimmte Gruppen teilnehmen. Prüfen Sie deshalb immer, wie die Daten zustande gekommen sind.
In wissenschaftlichen Arbeiten werden Fehlerbalken in Diagrammen manchmal als Standardabweichung, manchmal als Standardfehler und manchmal als Konfidenzintervall gezeichnet. Achten Sie auf die Beschriftung, denn die Balken unterscheiden sich stark. Wie groß eine Stichprobe für eine gewünschte Genauigkeit sein muss, berechnet der Stichprobengröße-Rechner, Intervalle für Anteile der Konfidenzintervall-Rechner.
Tipps und typische Fehler
Genauigkeit einschätzen.
- Vierfach: Halber Fehler.
- t-Verteilung: Bei kleinem n.
- Beschriftung: Fehlerbalken.
- Verzerrung: Nicht erfasst.
Weitere Rechner: Mathe & Formeln
Häufige Fragen
Was ist der Unterschied zwischen Standardabweichung und Standardfehler?
Die Standardabweichung misst die Streuung der Einzelwerte, der Standardfehler die Unsicherheit des Mittelwerts.
Wann nutze ich die t-Verteilung?
Wenn die Standardabweichung aus der Stichprobe geschätzt wird, vor allem bei kleinen Stichproben.
Wie halbiere ich den Standardfehler?
Mit der vierfachen Stichprobengröße, weil n unter der Wurzel steht.
Was bedeutet SEM?
Standard Error of the Mean, englisch für Standardfehler des Mittelwerts.
Wann brauche ich die Endlichkeitskorrektur?
Wenn die Stichprobe mehr als etwa 5 Prozent der Grundgesamtheit umfasst.
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