Was die vier Parameter bewirken
Die Grundfunktion sin(x) schwingt zwischen −1 und 1 und wiederholt sich nach 2π, im Gradmaß nach 360 Grad. Jede andere Sinuskurve entsteht daraus durch Strecken und Verschieben. Die allgemeine Form f(x) = a · sin(b · (x − c)) + d enthält dafür vier Parameter, deren Wirkung man getrennt betrachten kann. Der Rechner übersetzt die Parameter in die Kennwerte, die man für eine Skizze oder eine Klausuraufgabe braucht.
Der Betrag von a ist die Amplitude, also der Abstand vom Mittelwert zum Maximum. Ist a negativ, wird die Kurve zusätzlich an der Mittellinie gespiegelt und beginnt nach unten. Der Parameter b bestimmt die Periode: Sie beträgt 2π geteilt durch den Betrag von b. Ein größeres b staucht die Kurve, ein kleineres streckt sie. Der Kehrwert der Periode ist die Frequenz.
Der Parameter c verschiebt die Kurve nach rechts, wenn er positiv ist, und nach links, wenn er negativ ist. Bei x = c beginnt eine neue Schwingung auf der Mittellinie. Der Parameter d hebt oder senkt die gesamte Kurve; die Gerade y = d ist die Mittellinie. Maximum und Minimum liegen bei d plus beziehungsweise minus der Amplitude.
Sinusfunktionen ablesen und anwenden
Oft ist der Weg umgekehrt: Ein Graph ist gegeben, und die Funktionsgleichung wird gesucht. Lesen Sie zuerst Maximum und Minimum ab. Ihr Mittelwert ist d, die halbe Differenz die Amplitude. Messen Sie dann den Abstand zwischen zwei benachbarten Hochpunkten, das ist die Periode, und berechnen Sie b als 2π geteilt durch die Periode. Zum Schluss suchen Sie eine Stelle, an der die Kurve die Mittellinie aufsteigend schneidet; das ist c.
Häufig steht die Funktion in der Form a · sin(bx − e) + d. Dann muss b ausgeklammert werden: bx − e = b · (x − e ÷ b). Die Verschiebung ist also nicht e, sondern e geteilt durch b. Bei sin(2x − π) beträgt sie π ÷ 2 und nicht π. Dieser Unterschied ist eine der häufigsten Fehlerquellen in Klassenarbeiten.
Im Gradmaß rechnet der Rechner mit 360 Grad als Grundperiode. Das ist in der Physik und bei technischen Anwendungen üblich, etwa bei Wechselstrom mit Phasenwinkeln. Mit a = −3, b = 2, c = 30 und d = 0 ergibt sich eine Periode von 180 Grad, ein Tiefpunkt bei 75 Grad und ein Hochpunkt bei 165 Grad. Die negative Amplitude dreht die Lage von Hoch- und Tiefpunkt um.
Sinusfunktionen beschreiben viele periodische Vorgänge: Tageslänge im Jahresverlauf, Gezeiten, Schwingungen einer Feder oder Temperaturen über den Tag. Die Cosinusfunktion ist dieselbe Kurve, nur um eine Viertelperiode nach links verschoben; cos(x) entspricht sin(x + π ÷ 2). Für einzelne Winkelwerte und Dreiecke nutzen Sie den Trigonometrie-Rechner, für Wachstumsprozesse den Exponentialfunktion-Rechner.
Tipps und typische Fehler
Sinuskurven skizzieren.
- Mittellinie: Zuerst zeichnen.
- Periode: In vier Teile.
- Start: Bei x = c.
- a negativ: Spiegeln.
Weitere Rechner: Mathe & Formeln
Häufige Fragen
Wie berechne ich die Periode einer Sinusfunktion?
2π geteilt durch den Betrag von b, im Gradmaß 360 Grad geteilt durch den Betrag von b.
Was bewirkt ein negatives a?
Die Kurve wird an der Mittellinie gespiegelt, Hoch- und Tiefpunkte tauschen die Lage.
Wie lese ich die Verschiebung bei sin(bx − e) ab?
b ausklammern: Die Verschiebung ist e geteilt durch b.
Was ist die Frequenz einer Sinusfunktion?
Der Kehrwert der Periode, also die Zahl der Schwingungen je Einheit.
Wie hängen Sinus und Cosinus zusammen?
Der Cosinus ist der um eine Viertelperiode nach links verschobene Sinus.
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