Höhe aus Winkel und Strecke
Mit einem Tachymeter lassen sich Höhenunterschiede auch über größere Entfernungen und steiles Gelände bestimmen, wo ein Nivellement sehr aufwendig wäre. Gemessen werden der Zenitwinkel, also der Winkel zwischen der Lotrichtung nach oben und der Ziellinie, und die Schrägstrecke zum Prisma. Aus beiden folgt der Höhenunterschied zwischen Kippachse und Zielmarke.
Dazu kommen die Instrumentenhöhe über dem Standpunkt und die Zielhöhe über dem Zielpunkt. Ab einigen hundert Metern muss außerdem berücksichtigt werden, dass die Erde gekrümmt ist und der Lichtstrahl in der Atmosphäre leicht nach unten gebogen wird. Beide Effekte fasst die Korrektur (1 − k) × e² ÷ (2R) zusammen, mit dem Refraktionskoeffizienten k und dem Erdradius R.
Der Rechner arbeitet in Gon, wie in der deutschen Vermessung üblich. Ein Zenitwinkel von 100 gon bedeutet waagerecht, kleinere Werte zeigen nach oben. Liegt nur die Horizontalstrecke vor, etwa aus Koordinaten, wird der Höhenunterschied über den Kotangens des Zenitwinkels berechnet.
Genauigkeit und Fehlerquellen
Die Genauigkeit hängt bei kurzen Strecken vor allem von der Winkelmessung ab. Ein Fehler von 1 mgon im Zenitwinkel verschiebt den Höhenunterschied auf 250 m um etwa 4 mm. Messen Sie den Zenitwinkel deshalb in beiden Fernrohrlagen und mitteln Sie die Werte. So fällt auch der Indexfehler des Instruments heraus.
Ab etwa 300 m wird die Refraktion zur größten Unsicherheit. Der Standardwert 0,13 gilt für mittlere Bedingungen über bewachsenem Boden tagsüber. Über Asphalt in der Sonne, über Wasser oder bei Inversionswetterlagen kann k zwischen negativen Werten und über 0,5 schwanken. Bei 1 km Entfernung macht ein um 0,1 falscher Koeffizient bereits rund 8 mm aus.
Wer hohe Genauigkeit braucht, misst gegenseitig-gleichzeitig: Von beiden Endpunkten wird zur gleichen Zeit zum jeweils anderen Punkt gemessen. Der Mittelwert der beiden Höhenunterschiede ist dann praktisch frei von Erdkrümmung und Refraktion. Für kurze Strecken bis etwa 100 m ist die Korrektur kleiner als ein Millimeter und meist vernachlässigbar.
Prüfen Sie Instrumenten- und Zielhöhe sorgfältig, denn ein Fehler dort geht eins zu eins in das Ergebnis ein. Bei Baumhöhen oder Gebäudehöhen ohne Prisma hilft der Baumhöhe-Rechner. Die Umrechnung von Gon in Grad zeigt der Gon-Umrechner, die Grundlagen der Formeln finden sich in jedem Lehrbuch der Ingenieurvermessung.
Tipps und typische Fehler
Genau messen.
- Zwei Lagen: Mitteln.
- Höhen: Exakt messen.
- Refraktion: Bodennähe meiden.
- Gegenseitig: Bei langen Strecken.
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Häufige Fragen
Was ist der Zenitwinkel?
Der Winkel zwischen der Senkrechten nach oben und der Ziellinie; 100 gon entsprechen der Waagerechten.
Ab wann muss man die Erdkrümmung berücksichtigen?
Ab etwa 100 bis 200 m, weil die Korrektur dann einige Millimeter erreicht.
Welcher Refraktionskoeffizient ist üblich?
Als Standard gilt k = 0,13; er schwankt je nach Wetter und Untergrund.
Warum misst man in zwei Fernrohrlagen?
Weil sich der Höhenindexfehler des Instruments dann im Mittel aufhebt.
Wie groß ist die Erdkrümmung auf 1 km?
Ohne Refraktion etwa 78 mm, mit k = 0,13 rund 68 mm.
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