Vom Winkel zur Koordinate
Ein Polygonzug verbindet bekannte Festpunkte über eine Folge neuer Punkte. An jedem Punkt wird der Brechungswinkel zwischen dem vorherigen und dem nächsten Punkt gemessen, dazu die Strecken zwischen den Punkten. Beim beidseitig angeschlossenen Zug sind Anfangs- und Endpunkt bekannt, ebenso je eine Anschlussrichtung zu einem weiteren Festpunkt. Dadurch lassen sich die Messungen sowohl in den Winkeln als auch in den Koordinaten kontrollieren.
Zuerst werden die Richtungswinkel fortgeschrieben: Der neue Richtungswinkel ist der alte plus 200 gon plus Brechungswinkel. Am Ende muss die berechnete Abschlussrichtung mit der bekannten übereinstimmen. Die Differenz ist der Winkelabschlussfehler, der gleichmäßig auf alle Brechungswinkel verteilt wird.
Mit den verbesserten Richtungswinkeln folgen die Koordinatenunterschiede Δy = s × sin t und Δx = s × cos t. Ihre Summen werden mit dem Soll aus End- minus Anfangskoordinate verglichen. Die Widersprüche in Y und X verteilt der Rechner proportional zu den Streckenlängen. Diese einfache Ausgleichung nach Bowditch ist das klassische Verfahren für Polygonzüge.
t_neu = t_alt + 200 gon + β; w = t_Soll − t_Ist; Δy = s × sin t, Δx = s × cos t; v_y,i = f_y × s_i ÷ Σs; f_s = √(f_y² + f_x²)
Messung und Kontrolle
Im Rechner werden Brechungswinkel im Uhrzeigersinn vom Rückwärtsziel zum Vorwärtsziel gezählt, so wie sie ein Tachymeter mit Nullrichtung auf den vorherigen Punkt liefert. Haben Sie linke Winkel gemessen, ziehen Sie sie von 400 gon ab. Die Koordinaten folgen der deutschen Konvention: Y ist der Rechtswert nach Osten, X der Hochwert nach Norden, Richtungswinkel werden von Norden im Uhrzeigersinn gezählt.
Ob ein Zug brauchbar ist, entscheidet die zulässige Abweichung der jeweiligen Vorschrift. Sie hängt von Zuglänge, Punktzahl und Genauigkeitsstufe ab und ist in den Liegenschaftsvermessungsvorschriften der Länder oder im Auftrag festgelegt. Als grobe Orientierung gelten bei Bauvermessungen Genauigkeiten besser als 1 : 10.000 als gut.
Ein großer Winkelabschlussfehler deutet oft auf einen falsch zugeordneten oder vertauschten Winkel hin, ein großer Koordinatenfehler bei kleinem Winkelfehler eher auf eine fehlerhafte Strecke. Liegt der Fehler weit außerhalb der Toleranz, sollte nicht ausgeglichen, sondern die Messung überprüft werden. Die Ausgleichung verteilt nur kleine zufällige Abweichungen sinnvoll.
Für amtliche Vermessungen werden Polygonzüge heute meist mit Ausgleichungsprogrammen nach der Methode der kleinsten Quadrate gerechnet oder durch GNSS ersetzt. Für Lehre, Übungen und Kontrollrechnungen ist das klassische Verfahren aber nach wie vor Standard. Die Fläche eines Polygons aus Koordinaten berechnet der Polygon-Flächen-Rechner.
Tipps und typische Fehler
Züge prüfen.
- Winkel: Zuordnung prüfen.
- Strecken: Hin und zurück.
- Toleranz: Vorschrift beachten.
- Anschluss: Beidseitig.
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Häufige Fragen
Was ist ein Brechungswinkel?
Der an einem Polygonpunkt gemessene Winkel zwischen der Richtung zum vorherigen und zum nächsten Punkt.
Wie wird der Koordinatenfehler verteilt?
Proportional zu den Streckenlängen, nach dem Verfahren von Bowditch.
Was bedeutet die relative Genauigkeit 1 : 25.000?
Der lineare Abschlussfehler beträgt ein 25.000stel der Zuglänge, also 4 cm auf 1 km.
Was ist ein Richtungswinkel?
Der von Norden im Uhrzeigersinn gezählte Winkel einer Strecke, in der Vermessung meist in Gon.
Was ist ein offener Polygonzug?
Ein Zug ohne Anschluss am Ende; er lässt sich nicht kontrollieren und sollte vermieden werden.
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