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Mathe & Formeln

Taylorpolynom berechnen

Wählen Sie die Funktion, den Entwicklungspunkt, den Grad und die Stelle, an der genähert werden soll. Der Rechner zeigt das Polynom und wie gut es den echten Funktionswert trifft.

Funktion und Grad
Bei a = 0 heißt das Polynom auch Maclaurin-Polynom. Winkel im Bogenmaß.
Ergebnis

Funktionen durch Polynome annähern

Ein Taylorpolynom ersetzt eine komplizierte Funktion in der Nähe eines Punktes a durch ein Polynom, das an dieser Stelle denselben Funktionswert und dieselben ersten n Ableitungen hat. Grad 1 ist die Tangente, Grad 2 eine Parabel, die zusätzlich die Krümmung übernimmt. Mit jedem weiteren Grad schmiegt sich das Polynom über einen größeren Bereich an die Funktion an.

Der Rechner bietet vier Funktionen, deren Ableitungen sich in einfacher Form angeben lassen: Die e-Funktion ist ihre eigene Ableitung, Sinus und Kosinus wiederholen sich nach vier Ableitungen, und ln(1 + x) hat Ableitungen mit Fakultäten im Zähler und Potenzen von (1 + a) im Nenner. Für jede Wahl berechnet er die Koeffizienten, wertet das Polynom an der Stelle x aus und vergleicht mit dem exakten Wert.

Bei a = 0 erscheinen die Koeffizienten als Brüche wie x³/6, so wie sie in Formelsammlungen stehen. Bei anderen Entwicklungspunkten zeigt der Rechner die Koeffizienten als Dezimalzahlen mit den Potenzen von (x − a). Damit lassen sich Hausaufgaben schnell kontrollieren.

Tn (x)=∑ f ⁽ ᵏ ⁾ (a)⋅(x−a) ᵏk!fu¨r k=0 … n , Restglied ∣ Rn (x) ∣≤M⋅∣ x−a ∣n+1(n+1)!T_{n}\,\left(x\right) = \frac{\sum\,f\,⁽\,ᵏ\,⁾\,\left(a\right) \cdot \left(x - a\right)\,ᵏ}{k!}\quad \text{für}\ k = 0\,\ldots\,n\,{,}\ \text{Restglied}\,|\,R_{n}\,\left(x\right)\,| \le M \cdot |\,x - \frac{a\,|^{n+1}}{\left(n + 1\right)!}

Beispiel: Für eˣ um a = 0 bis Grad 4 lautet das Polynom T(x) = 1 + x + x²/2 + x³/6 + x⁴/24. An der Stelle x = 1 ergibt es 2,708333. Der exakte Wert e = 2,718282 liegt 0,009948 höher, das sind rund 0,37 Prozent. Die Lagrange-Schranke e ÷ 5! = 0,022652 ist größer als der tatsächliche Fehler, wie es sein muss.

Restglied und Konvergenz verstehen

Das Restglied nach Lagrange gibt eine obere Grenze für den Fehler an. Dafür braucht man eine Schranke M für die (n + 1)-te Ableitung zwischen a und x. Bei Sinus und Kosinus ist M = 1, bei der e-Funktion der größere der Werte eᵃ und eˣ. Die Schranke ist oft deutlich größer als der wirkliche Fehler, aber sie ist garantiert und lässt sich vorab berechnen.

Für eˣ, sin x und cos x konvergiert die Taylorreihe für jedes x: Mit genügend hohem Grad wird der Fehler beliebig klein. Weit vom Entwicklungspunkt entfernt braucht man allerdings viele Glieder. Bei ln(1 + x) ist das anders. Die Reihe konvergiert nur, solange der Abstand |x − a| kleiner als 1 + a ist. Außerhalb wird die Näherung mit wachsendem Grad sogar schlechter. Der Rechner weist darauf hin.

Taylorpolynome stecken in vielen Alltagsrechnungen. Taschenrechner werten Sinus oder Logarithmus intern über ähnliche Polynomnäherungen aus. In der Physik nutzt man die Näherung sin x ≈ x für kleine Winkel, etwa beim Fadenpendel. Mit dem Rechner sehen Sie, wie genau diese Näherung bei einem bestimmten Winkel noch ist.

Beachten Sie, dass Winkel im Bogenmaß eingegeben werden: 30 Grad entsprechen π ÷ 6 ≈ 0,5236. Für die Ableitungen beliebiger Funktionen steht der Ableitungsrechner zur Verfügung, für Folgen und Reihen allgemein ein eigener Rechner.

Tipps und typische Fehler

Näherungen prüfen.

  • Bogenmaß: Winkel umrechnen.
  • Grad erhöhen: Fehler beobachten.
  • Nahe a: Beste Näherung.
  • ln(1 + x): Konvergenzradius beachten.

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Häufige Fragen

Was ist ein Taylorpolynom?

Ein Polynom, das an einer Stelle a denselben Wert und dieselben ersten n Ableitungen hat wie die Funktion und sie in der Nähe von a annähert.

Was gibt das Restglied an?

Eine garantierte obere Grenze für den Fehler zwischen Polynom und Funktion an der gewählten Stelle.

Warum wird die Näherung für ln(1 + x) manchmal schlechter?

Die Reihe konvergiert nur für |x − a| < 1 + a. Außerhalb nimmt der Fehler mit dem Grad zu.

Wie genau ist sin x ≈ x?

Für kleine Winkel sehr genau; bei x = 0,1 liegt der Fehler unter 0,0002.

Was ist ein Maclaurin-Polynom?

Ein Taylorpolynom mit dem Entwicklungspunkt a = 0.

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