Was eine vollkommene Zahl ausmacht
Eine Zahl heißt vollkommen oder perfekt, wenn sie gleich der Summe ihrer echten Teiler ist, also aller Teiler außer sich selbst. Das kleinste Beispiel ist 6 = 1 + 2 + 3, das nächste 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14. Danach folgen 496 und 8128. Schon die griechischen Mathematiker kannten diese vier Zahlen; die fünfte, 33.550.336, wurde erst im Mittelalter gefunden.
Die übrigen Zahlen teilt man nach dem Vergleich mit ihrer Teilersumme ein. Ist die echte Teilersumme größer als die Zahl, heißt sie abundant oder überschießend, wie 12 mit 1 + 2 + 3 + 4 + 6 = 16. Ist sie kleiner, heißt die Zahl defizient oder mangelhaft. Alle Primzahlen sind defizient, denn ihr einziger echter Teiler ist 1. Potenzen von 2 verfehlen die Vollkommenheit nur um eins und werden deshalb manchmal fast vollkommen genannt.
Der Rechner zeigt außerdem die Summe aller Teiler σ(n), die Zahl der Teiler und den Abundanzindex σ(n) ÷ n. Dieser beträgt bei vollkommenen Zahlen genau 2, bei abundanten mehr, bei defizienten weniger. Gehört die Zahl zu einem befreundeten Paar, wird der Partner angegeben.
Euklid, Euler und offene Fragen
Euklid bewies, dass 2ᵖ⁻¹ · (2ᵖ − 1) vollkommen ist, wenn 2ᵖ − 1 eine Primzahl ist. Solche Primzahlen heißen Mersenne-Primzahlen. Für p = 2 ergibt sich 6, für p = 3 die 28, für p = 5 die 496 und für p = 7 die 8128. Leonhard Euler zeigte rund 2000 Jahre später, dass jede gerade vollkommene Zahl diese Form hat.
Ob es auch ungerade vollkommene Zahlen gibt, ist bis heute ungeklärt. Man weiß nur, dass eine solche Zahl, falls es sie gibt, unvorstellbar groß sein müsste. Ebenso offen ist, ob es unendlich viele vollkommene Zahlen gibt; das hängt direkt an der Frage nach unendlich vielen Mersenne-Primzahlen.
Befreundete Zahlen sind ein verwandtes Thema: Zwei Zahlen sind befreundet, wenn jede die echte Teilersumme der anderen ist. Das kleinste Paar ist 220 und 284. Die Teiler von 220 ohne 220 ergeben 284, die von 284 ohne 284 ergeben 220. Weitere Paare sind 1184 und 1210 sowie 2620 und 2924. Eine vollkommene Zahl ist gewissermaßen mit sich selbst befreundet.
Der Rechner sucht die Teiler durch Probedivision bis zur Wurzel der Zahl. Bis zehn Milliarden geht das im Browser schnell. Die Primfaktorzerlegung und die vollständige Teilerliste erhalten Sie mit den verwandten Rechnern.
Tipps und typische Fehler
Teiler erkunden.
- Echte Teiler: Ohne die Zahl selbst.
- Primzahlen: Immer defizient.
- Index 2: Vollkommen.
- 220 und 284: Befreundet.
Weitere Rechner: Mathe & Formeln
Häufige Fragen
Welche Zahlen sind vollkommen?
Zahlen, die gleich der Summe ihrer echten Teiler sind, zum Beispiel 6, 28, 496 und 8128.
Was ist eine abundante Zahl?
Eine Zahl, deren echte Teilersumme größer ist als sie selbst. Die kleinste ist 12.
Gibt es ungerade vollkommene Zahlen?
Das ist ein ungelöstes Problem der Mathematik. Bisher wurde keine gefunden.
Wie viele vollkommene Zahlen sind bekannt?
So viele wie Mersenne-Primzahlen bekannt sind, derzeit gut fünfzig, alle gerade.
Ist 1 eine vollkommene Zahl?
Nein. Die echte Teilersumme von 1 ist 0, daher ist 1 defizient.
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