Vom Polynom zur Produktform
Die Linearfaktorzerlegung schreibt ein Polynom als Produkt einfacher Klammern der Form (x − r), wobei r eine Nullstelle ist. Aus x⁴ − x³ − 7x² + x + 6 wird so (x + 2)(x + 1)(x − 1)(x − 3). In dieser Form liest man die Nullstellen direkt ab, erkennt Vorzeichenwechsel und kann Brüche mit Polynomen kürzen.
Der Fundamentalsatz der Algebra garantiert, dass ein Polynom vom Grad n genau n Nullstellen besitzt, wenn man komplexe Nullstellen und Vielfachheiten mitzählt. Über den reellen Zahlen geht die Zerlegung deshalb nicht immer vollständig in Linearfaktoren auf. Komplexe Nullstellen treten bei reellen Koeffizienten immer als Paar u ± vi auf und ergeben zusammen einen quadratischen Faktor ohne reelle Nullstelle, etwa x² + 1.
Der Rechner bestimmt alle Nullstellen gleichzeitig numerisch und fasst sehr nahe beieinander liegende Werte als mehrfache Nullstelle zusammen. Eine doppelte Nullstelle erscheint als (x − r)², eine dreifache als (x − r)³. Ganzzahlige Nullstellen werden exakt angezeigt, andere auf vier Nachkommastellen gerundet.
Von Hand zerlegen und kontrollieren
Im Unterricht beginnt man meist damit, eine Nullstelle zu raten. Bei ganzzahligen Koeffizienten kommen als ganzzahlige Nullstellen nur Teiler des Absolutglieds infrage, bei x⁴ − x³ − 7x² + x + 6 also ±1, ±2, ±3 und ±6. Hat man eine Nullstelle r gefunden, dividiert man das Polynom durch (x − r) und erhält ein Polynom, dessen Grad um eins kleiner ist. Das wiederholt man, bis eine quadratische Gleichung übrig bleibt.
Für die Division eignen sich die Polynomdivision und das Horner-Schema. Beide liefern dasselbe Ergebnis; das Horner-Schema ist kürzer, die Polynomdivision zeigt die Rechnung ausführlicher. Den quadratischen Rest löst man mit der p-q-Formel oder der Mitternachtsformel.
Steht vor x⁴ eine andere Zahl als 1, bleibt sie als Faktor vor dem Produkt stehen: 2x² − 8 wird zu 2 · (x + 2)(x − 2). Ein negativer Leitkoeffizient −1 erscheint als vorangestelltes Minuszeichen. Prüfen Sie die Zerlegung, indem Sie die Klammern wieder ausmultiplizieren.
Sind Nullstellen irrational, etwa 1 ± √2, zeigt der Rechner Dezimalwerte wie 2,4142 und −0,4142. Die Zerlegung ist dann eine gerundete Darstellung. Für exakte Wurzelausdrücke lösen Sie den quadratischen Faktor mit der Lösungsformel von Hand.
Tipps und typische Fehler
Polynome zerlegen.
- Raten: Teiler von a₀.
- Abspalten: Horner-Schema.
- Probe: Ausmultiplizieren.
- Vorfaktor: Leitkoeffizient bleibt.
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Häufige Fragen
Was ist eine Linearfaktorzerlegung?
Die Darstellung eines Polynoms als Produkt von Faktoren der Form (x − Nullstelle), gegebenenfalls mit Vorfaktor.
Warum zerfällt x² + 1 nicht in Linearfaktoren?
Es hat keine reellen Nullstellen. Seine Nullstellen i und −i sind komplex, daher bleibt über den reellen Zahlen ein quadratischer Faktor.
Wie erkenne ich eine doppelte Nullstelle?
Sie erscheint als quadrierter Faktor, etwa (x − 1)². Der Graph berührt dort die x-Achse, ohne das Vorzeichen zu wechseln.
Wie finde ich die erste Nullstelle?
Probieren Sie die Teiler des Absolutglieds, bei ganzzahligen Koeffizienten kommen nur sie als ganzzahlige Nullstellen infrage.
Was bedeutet ein quadratischer Restfaktor?
Er steht für ein Paar komplexer Nullstellen und ist über den reellen Zahlen nicht weiter zerlegbar.
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