Numerische Integration mit Stützstellen
Nicht jedes Integral lässt sich mit einer Stammfunktion lösen. Oft liegen auch nur Messwerte vor, etwa eine Geschwindigkeit im Sekundentakt, aus der der Weg berechnet werden soll, oder eine Leistungskurve, aus der die Energie folgt. Dann helfen Quadraturformeln, die das Integral aus Funktionswerten an Stützstellen annähern. Dieser Rechner vergleicht die drei bekanntesten Newton-Cotes-Verfahren.
Die Trapezregel verbindet benachbarte Punkte durch Geraden und summiert die Trapezflächen. Die Simpsonregel, benannt nach Thomas Simpson (1743), legt durch jeweils drei Punkte eine Parabel und integriert diese exakt. Sie gewichtet die Werte im Muster 1, 4, 2, 4, …, 2, 4, 1 und braucht deshalb eine gerade Zahl von Teilintervallen. Die Mittelpunktregel nimmt je Intervall den Wert in der Mitte; hier dienen die Stützstellen mit ungeradem Index als Mittelpunkte von Intervallen doppelter Breite.
Die Fehler unterscheiden sich deutlich. Bei glatten Funktionen sinkt der Fehler der Trapez- und Mittelpunktregel mit h², der Fehler der Simpsonregel mit h⁴. Halbiert man die Schrittweite, wird die Simpsonregel also etwa sechzehnmal genauer. Für Polynome bis zum dritten Grad ist sie sogar exakt.
Ergebnisse prüfen und deuten
Der Vergleich der drei Verfahren ist eine einfache Plausibilitätskontrolle. Bei konvexen Funktionen wie x² liegt die Trapezregel über dem wahren Wert und die Mittelpunktregel darunter. Die Simpsonregel entspricht genau der gewichteten Mischung aus zwei Dritteln Mittelpunktregel und einem Drittel Trapezregel mit doppelter Schrittweite. Liegen die drei Ergebnisse nah beieinander, ist die Schrittweite ausreichend fein.
Weichen die Werte stark voneinander ab, ist die Funktion zwischen den Stützstellen zu unruhig. Verfeinern Sie dann das Raster, also mehr Funktionswerte im gleichen Intervall. Eine bewährte Fehlerschätzung nach Richardson ist die Differenz zweier Simpson-Ergebnisse mit h und 2h, geteilt durch 15.
Die Stützstellen müssen den gleichen Abstand haben. Bei ungleichmäßig verteilten Messpunkten ist die Trapezregel mit individuellen Abständen die richtige Wahl; diese Variante bildet der Rechner nicht ab. Liegen die Werte in der falschen Reihenfolge vor oder ist b kleiner als a, ändert sich das Vorzeichen des Ergebnisses.
Ist eine Funktionsgleichung bekannt, können Sie die Werte vorab mit einer Tabellenkalkulation erzeugen und hier einfügen. Für die exakte Integration einfacher Funktionen nutzen Sie den Integralrechner. Die Formeln finden sich in jedem Lehrbuch der Numerik, etwa bei Stoer und Bulirsch.
Tipps und typische Fehler
Genau integrieren.
- Abstand: Gleichmäßig.
- Anzahl: Ungerade Werte.
- Vergleich: Drei Regeln.
- Verfeinern: Bei Abweichung.
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Häufige Fragen
Warum braucht die Simpsonregel eine gerade Anzahl von Intervallen?
Weil sie je zwei Intervalle mit einer Parabel durch drei Punkte annähert.
Welche Regel ist am genauesten?
Bei glatten Funktionen meist die Simpsonregel, ihr Fehler sinkt mit h⁴.
Kann ich Messwerte verwenden?
Ja, sofern die Messpunkte gleichen Abstand haben.
Was ist die Keplersche Fassregel?
Die Simpsonregel mit nur zwei Teilintervallen, also drei Stützstellen.
Wie verbessere ich die Genauigkeit?
Mehr Stützstellen im gleichen Intervall verwenden, also die Schrittweite verkleinern.
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