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Volumen eines Rotationskörpers berechnen

Geben Sie die Koeffizienten der Funktion f(x) = ax³ + bx² + cx + d und die Grenzen ein. Der Rechner berechnet das Volumen bei Rotation um die x-Achse.

Funktion f(x) = ax³ + bx² + cx + d und Grenzen
Ergebnis

Körper aus einer Kurve

Dreht sich der Graph einer Funktion um die x-Achse, beschreibt jeder Punkt einen Kreis. Zusammen entsteht ein Rotationskörper, etwa eine Vase, ein Fass oder ein Kegelstumpf. In der Integralrechnung ist die Berechnung seines Volumens eine Standardanwendung: Man zerlegt den Körper in dünne Scheiben mit dem Radius f(x) und summiert deren Volumen.

Jede Scheibe hat das Volumen π · f(x)² · Δx. Im Grenzwert wird daraus das Integral V = π · ∫ f(x)² dx. Weil das Quadrat genommen wird, spielt es keine Rolle, ob der Graph über oder unter der x-Achse liegt. Für Polynome bis zum dritten Grad berechnet der Rechner das Volumen exakt über die Stammfunktion von f².

Die Mantelfläche, also die gekrümmte Außenhaut, berechnet der Rechner numerisch mit der Simpsonregel. Im Beispiel rotiert die Gerade f(x) = 0,5x + 1 zwischen 0 und 4. Es entsteht ein Kegelstumpf mit den Radien 1 und 3 und der Höhe 4. Sein Volumen beträgt 52π ÷ 3, also rund 54,45 Volumeneinheiten.

V=π⋅∫ f (x)2 dx von x1 bis x2; Mantelfla¨che M=2 π⋅∫ ∣ f (x) ∣⋅1+f′ (x)2 dxV = \pi \cdot \int\,f\,\left(x\right)^{2}\,\text{dx von x}_{1}\,\text{bis x}_{2};\ \text{Mantelfläche M} = 2\,\pi \cdot \int\,|\,f\,\left(x\right)\,| \cdot \sqrt{1 + f'\,\left(x\right)^{2}}\,\text{dx}

Beispiel: f(x) = 0,5x + 1 von 0 bis 4: f² = 0,25x² + x + 1, Stammfunktion x³ ÷ 12 + x² ÷ 2 + x, Wert bei 4 gleich 52 ÷ 3. Volumen V = 52π ÷ 3 ≈ 54,4543, Mantelfläche ≈ 56,1985, Fläche unter dem Graphen 8, größter Radius 3. Ein Zylinder mit Radius 3 und Länge 4 hätte 113,0973 Volumeneinheiten.

Ergebnisse prüfen und anwenden

Das Beispiel lässt sich mit der Formel für den Kegelstumpf kontrollieren: V = π · h ÷ 3 · (r₁² + r₁r₂ + r₂²) = π · 4 ÷ 3 · (1 + 3 + 9) = 52π ÷ 3. Auch die Mantelfläche stimmt mit π · (r₁ + r₂) · s überein, wobei s = √20 die Länge der schrägen Seite ist. Solche Proben lohnen sich, bevor man den Rechner für gekrümmte Funktionen nutzt.

Ein Vergleichswert hilft bei der Einordnung: Der Rechner zeigt das Volumen eines Zylinders mit dem größten Radius im Intervall. Der Rotationskörper ist immer kleiner oder gleich diesem Zylinder. Liegt das Ergebnis darüber, stimmen Eingaben oder Grenzen nicht. Beim Kegelstumpf im Beispiel füllt der Körper knapp die Hälfte des umschließenden Zylinders.

Für praktische Aufgaben wie das Füllvolumen einer Schale legt man die Symmetrieachse auf die x-Achse und beschreibt den Innenrand durch eine Funktion. Schneidet der Graph die x-Achse, entsteht an dieser Stelle eine Einschnürung auf Radius null. Bei Rotation um die y-Achse oder bei Hohlkörpern zwischen zwei Graphen gelten andere Formeln, die dieser Rechner nicht abdeckt.

Bestimmte Integrale allgemeiner Funktionen berechnet der Integralrechner, Volumen und Oberfläche einfacher Grundkörper der Volumen-Oberfläche-Rechner. Die Länge der erzeugenden Kurve selbst, ohne Rotation, liefert der Bogenlänge-Rechner.

Tipps und typische Fehler

Volumen integrieren.

  • Quadrat: Vorzeichen egal.
  • Probe: Kegelstumpf.
  • Zylinder: Obergrenze.
  • Achse: x-Achse.

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Häufige Fragen

Wie berechnet man das Volumen eines Rotationskörpers?

Mit V = π mal dem Integral von f(x)² zwischen den Grenzen.

Warum wird f(x) quadriert?

Jede Scheibe ist ein Kreis mit dem Radius f(x), ihre Fläche ist π · f(x)².

Spielt das Vorzeichen von f eine Rolle?

Nein, durch das Quadrat zählen Abschnitte unter der x-Achse genauso.

Wie prüfe ich das Ergebnis?

Mit einer linearen Funktion, die einen Kegel oder Kegelstumpf ergibt, und der bekannten Formel.

Gilt der Rechner für Rotation um die y-Achse?

Nein, dafür ist eine andere Formel nötig.

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