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Euler-Verfahren online rechnen

Geben Sie die Koeffizienten der Differentialgleichung, den Startpunkt, die Schrittweite und die Zahl der Schritte ein. Der Rechner führt das explizite Euler-Verfahren aus und vergleicht das Ergebnis mit der exakten Lösung.

Differentialgleichung und Schritte
Der Endpunkt ist x₀ + n × h.
Ergebnis

So arbeitet das Euler-Verfahren

Viele Vorgänge in Physik, Biologie und Technik werden durch Differentialgleichungen beschrieben: Die Gleichung sagt nicht, wie groß eine Größe ist, sondern wie schnell sie sich ändert. Das Euler-Verfahren ist der einfachste Weg, eine solche Gleichung näherungsweise zu lösen. Man startet in einem bekannten Punkt, berechnet dort die Steigung und geht ein kleines Stück h entlang dieser Tangente. Am neuen Punkt wiederholt man den Vorgang.

Dieser Rechner behandelt Gleichungen der Form y' = a·y + b·x + c. Damit lassen sich exponentielles Wachstum und Zerfall (nur a), lineare Zuflüsse (c), beschränktes Wachstum (a negativ, c positiv) und Kombinationen mit einem von x abhängigen Anteil abbilden. Weil diese Gleichungen linear sind, gibt es eine geschlossene Lösung. Der Rechner nutzt sie, um den Fehler der Näherung genau anzugeben.

Zusätzlich rechnet er dieselbe Aufgabe mit dem Heun-Verfahren, auch verbessertes Euler-Verfahren genannt. Es berechnet zuerst einen Euler-Schritt als Vorhersage, bestimmt dort erneut die Steigung und nimmt den Mittelwert beider Steigungen. So sehen Sie direkt, wie viel ein etwas aufwendigeres Verfahren an Genauigkeit bringt.

yi+1=yi+h⋅f (xi , yi)mit f (x , y)=a⋅y+b⋅x+cund xi+1=xi+hy_{i+1} = y_{i} + h \cdot f\,\left(x_{i}\,{,}\ y_{i}\right)\quad \text{mit}\ f\,\left(x\,{,}\ y\right) = a \cdot y + b \cdot x + c\quad \text{und}\ x_{i+1} = x_{i} + h

Beispiel: Für y' = y + x mit y(0) = 1 und h = 0,1 ergibt der erste Schritt y₁ = 1 + 0,1 · (1 + 0) = 1,1, der zweite y₂ = 1,1 + 0,1 · (1,1 + 0,1) = 1,22, der dritte 1,362. Nach zehn Schritten bei x = 1 liefert Euler y ≈ 3,187485. Die exakte Lösung y = 2eˣ − x − 1 ergibt 3,436564, der Fehler beträgt also rund 0,249. Das Heun-Verfahren kommt mit denselben zehn Schritten auf 3,428162 und liegt nur 0,0084 daneben.

Schrittweite, Fehler und Stabilität

Das Euler-Verfahren ist ein Verfahren erster Ordnung: Der globale Fehler am Ende ist ungefähr proportional zur Schrittweite. Halbieren Sie h und verdoppeln Sie die Zahl der Schritte, sinkt der Fehler etwa auf die Hälfte. Beim Heun-Verfahren, einem Verfahren zweiter Ordnung, fällt der Fehler dagegen etwa auf ein Viertel. Probieren Sie das im Rechner aus, indem Sie h = 0,05 und n = 20 eintragen.

Bei stark negativem a kann das Euler-Verfahren instabil werden. Ist h größer als 2 ÷ |a|, springen die Näherungswerte von Schritt zu Schritt um die wahre Lösung hin und her und wachsen sogar an, obwohl die echte Lösung abklingt. Das ist kein Rechenfehler, sondern eine bekannte Eigenschaft expliziter Verfahren bei sogenannten steifen Gleichungen. Abhilfe schafft eine kleinere Schrittweite.

Die Wertetabelle zeigt bei vielen Schritten nur eine Auswahl von etwa zehn Zeilen, damit sie übersichtlich bleibt. Der letzte Schritt ist immer enthalten. Wenn Sie jeden einzelnen Schritt nachvollziehen möchten, etwa für eine Hausaufgabe, wählen Sie höchstens zehn Schritte; dann erscheint jede Zeile.

Im Unterricht dient das Verfahren oft als Einstieg in die numerische Mathematik. Für Nullstellen von Funktionen gibt es mit dem Newton-Verfahren ein verwandtes Iterationsverfahren, für Flächen unter Kurven numerische Integrationsregeln. Allen gemeinsam ist der Gedanke, eine schwierige Aufgabe in viele kleine, einfache Schritte zu zerlegen.

Tipps und typische Fehler

Numerisch lösen.

  • Schrittweite: Halbieren und vergleichen.
  • Heun: Genauer bei gleichem Aufwand.
  • Stabilität: h klein bei negativem a.
  • Tabelle: Bis zehn Schritte vollständig.

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Häufige Fragen

Was berechnet das Euler-Verfahren?

Es nähert die Lösung einer Differentialgleichung, indem es vom Startpunkt aus in kleinen Schritten entlang der jeweiligen Tangente weitergeht.

Wie wähle ich die Schrittweite h?

Je kleiner h, desto genauer, aber desto mehr Schritte sind nötig. Der Fehler sinkt beim Euler-Verfahren etwa proportional zu h.

Was ist der Unterschied zum Heun-Verfahren?

Heun mittelt die Steigung am Anfang und am Ende eines Schritts und ist dadurch eine Ordnung genauer.

Ist das Euler-Verfahren dasselbe wie Euler-Cauchy?

Ja, beide Namen bezeichnen das explizite Euler-Verfahren mit konstanter Schrittweite.

Warum schwingen die Werte bei großem h?

Bei stark negativem a wird das Verfahren instabil, sobald h größer als 2 ÷ |a| ist.

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