Wie lang ist eine Kurve?
Die Bogenlänge gibt an, wie lang der Graph einer Funktion zwischen zwei Stellen ist, wenn man ihn wie einen Faden gerade ziehen würde. Sie ist immer mindestens so lang wie die gerade Verbindung der beiden Endpunkte, die Sehne. Je stärker die Kurve gekrümmt ist und je steiler sie verläuft, desto größer wird der Unterschied.
Die Formel entsteht aus dem Satz des Pythagoras. Ein kleines Kurvenstück mit der Breite Δx steigt um f′(x) · Δx und ist damit √(1 + f′(x)²) · Δx lang. Summiert man diese Stücke, erhält man das Integral L = ∫ √(1 + f′(x)²) dx. Für die meisten Funktionen lässt es sich nicht mit einer einfachen Stammfunktion lösen.
Deshalb rechnet der Rechner numerisch mit der Simpsonregel und 8.000 Teilintervallen. Für die Parabel f(x) = 0,5x² zwischen 0 und 2 ergibt sich eine Bogenlänge von 2,957886. Die Sehne vom Ursprung zum Punkt (2 | 2) ist 2,828427 lang, der Bogen also knapp fünf Prozent länger.
Anwendungen und Kontrolle
Bogenlängen werden gebraucht, wenn Material entlang einer Kurve verlegt wird: ein Kabel, das zwischen zwei Masten durchhängt, eine gebogene Leiste, eine Rinne oder eine Straße, deren Verlauf durch eine Funktion beschrieben ist. Auch in der Physik spielt die Länge einer Bahnkurve eine Rolle, wenn der zurückgelegte Weg gesucht ist.
Zur Kontrolle eignet sich eine lineare Funktion. Für f(x) = x zwischen 0 und 3 ist der Graph eine Strecke, und die Bogenlänge muss gleich der Sehne sein, also 3 · √2 ≈ 4,2426. Für die Normalparabel f(x) = x² zwischen 0 und 1 ist der exakte Wert (2√5 + arsinh 2) ÷ 4 ≈ 1,478943; der Rechner trifft beide Werte auf viele Nachkommastellen.
Das Verhältnis von Bogen zu Sehne beschreibt, wie stark der Graph vom geraden Weg abweicht. Werte knapp über 1 bedeuten eine flache Kurve, bei Werten deutlich darüber schwingt der Graph stark. Die Steigungen an den Endpunkten zeigen, in welcher Richtung die Kurve beginnt und endet, was etwa für glatte Übergänge an Anschlussstücken wichtig ist.
Bei sehr steilen Polynomen mit großen Koeffizienten und weiten Intervallen wird das Ergebnis sehr groß; prüfen Sie dann, ob die Einheiten auf beiden Achsen gleich sind. Ableitungen zeigt der Ableitungsrechner, den Verlauf des Graphen mit Extrem- und Wendepunkten der Kurvendiskussion-Rechner, bestimmte Integrale der Integralrechner.
Tipps und typische Fehler
Kurven messen.
- Sehne: Untergrenze.
- Probe: Gerade.
- Einheiten: Gleich.
- Steigung: An den Enden.
Weitere Rechner: Mathe & Formeln
Häufige Fragen
Wie berechnet man die Bogenlänge eines Graphen?
Mit dem Integral von √(1 + f′(x)²) zwischen den beiden Stellen.
Warum wird die Bogenlänge numerisch berechnet?
Weil die Wurzel im Integral für die meisten Funktionen keine einfache Stammfunktion hat.
Kann die Bogenlänge kürzer als die Sehne sein?
Nein, die gerade Verbindung ist immer der kürzeste Weg zwischen zwei Punkten.
Welche Einheit hat die Bogenlänge?
Dieselbe Längeneinheit wie die Achsen, sofern beide gleich skaliert sind.
Wie genau ist die numerische Rechnung?
Mit 8.000 Teilintervallen meist auf viele Nachkommastellen genau.
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