Rechnerwerk
Mathe & Statistik

Rückwärtsschnitt nach Snellius-Pothenot

Geben Sie die Koordinaten von drei Festpunkten und die am Standpunkt gemessenen Richtungen ein. Der Rechner bestimmt die Koordinaten des Standpunkts und die Orientierung.

Festpunkte und Richtungen
Ergebnis

Standpunkt ohne Streckenmessung bestimmen

Beim Rückwärtsschnitt steht das Instrument auf einem unbekannten Punkt. Gemessen werden nur Richtungen zu drei Festpunkten mit bekannten Koordinaten, keine Strecken. Aus den beiden Winkeln zwischen diesen Richtungen lässt sich der Standpunkt eindeutig berechnen. Die Aufgabe ist als Problem von Snellius und Pothenot bekannt und war vor elektronischer Streckenmessung die wichtigste Methode, einen freien Standpunkt zu bestimmen, etwa auf See mit dem Sextanten.

Geometrisch liegt der Standpunkt auf einem Kreis durch A und B, von dem aus die Strecke AB unter dem gemessenen Winkel erscheint. Ein zweiter Kreis entsteht durch B und C. Beide Kreise schneiden sich in B und im gesuchten Standpunkt P. Der Rechner bestimmt die beiden Kreismittelpunkte und spiegelt B an deren Verbindungslinie. Das Verfahren entspricht der klassischen Lösung über Hilfskreise nach Cassini.

Neben den Koordinaten gibt der Rechner die Orientierungsunbekannte aus. Sie ist der Richtungswinkel der Nullrichtung des Teilkreises. Mit ihr lassen sich alle weiteren am Standpunkt gemessenen Richtungen in Richtungswinkel umrechnen, etwa für anschließende Absteckungen.

Kreismittelpunktfu¨r AB: M=i⋅(A⋅e−i φ−B⋅ei φ)2 sin φmit φ=rA−rBund Punkten als X+iY; P=Spiegelung von B an der Geraden MAB MBC\text{Kreismittelpunkt}\quad \text{für}\ \text{AB}:\ M = \frac{i \cdot \left(A \cdot e^{-i\,\varphi} - B \cdot e^{i\,\varphi}\right)}{2\,\text{sin}\,\varphi}\quad \text{mit}\ \varphi = r_{A} - r_{B}\quad \text{und}\ \text{Punkten als X} + \text{iY};\ P = \text{Spiegelung von B an der Geraden M}_{\text{AB}}\,M_{\text{BC}}

Beispiel: Festpunkte A (Y = 200, X = 900), B (Y = 700, X = 1.000) und C (Y = 1.000, X = 400), gemessene Richtungen 335,5767 gon, 0,7671 gon und 89,1099 gon. Der Rechner liefert den Standpunkt P bei Y = 500,000 m und X = 500,000 m sowie die Orientierungsunbekannte von 23,4567 gon. Die Strecken zu den Festpunkten betragen 499,999 m, 538,516 m und 509,902 m.

Der gefährliche Kreis und andere Fallstricke

Liegt der Standpunkt auf dem Kreis durch A, B und C, ist die Aufgabe unbestimmt: Von jedem Punkt dieses Kreises aus erscheinen die Festpunkte unter denselben Winkeln. Man spricht vom gefährlichen Kreis. Schon in seiner Nähe wirken sich kleine Richtungsfehler stark auf die Koordinaten aus. Der Rechner warnt, wenn die beiden Hilfskreise fast zusammenfallen.

Günstig ist eine Anordnung, bei der der Standpunkt innerhalb des Dreiecks ABC liegt oder die Festpunkte einen weiten Bereich des Horizonts abdecken. Ungünstig sind sehr spitze Winkel zwischen den Richtungen und Festpunkte, die fast auf einer Linie liegen. In der Praxis misst man deshalb einen vierten Punkt mit, um das Ergebnis zu kontrollieren.

Die Richtungen müssen am selben Standpunkt mit demselben Teilkreis gemessen sein. Reihenfolge und Nullrichtung sind beliebig, denn der Rechner verwendet nur Differenzen. Wichtig ist nur, dass die Richtung zu A wirklich zu A gehört. Vertauschte Zielpunkte ergeben einen falschen, aber rechnerisch gültigen Standpunkt.

Moderne Tachymeter rechnen den freien Standpunkt mit Strecken und Ausgleichung nach der Methode der kleinsten Quadrate. Der klassische Rückwärtsschnitt bleibt in der Ausbildung, bei der Kontrolle und bei reinen Winkelmessungen wichtig. Für amtliche Vermessungen gelten die Vorschriften der Länder.

Tipps und typische Fehler

Freie Standpunkte bestimmen.

  • Verteilung: Rundum zielen.
  • Kreis: Meiden.
  • Vierter Punkt: Zur Kontrolle.
  • Zuordnung: Ziele prüfen.

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Häufige Fragen

Wie viele Festpunkte braucht der Rückwärtsschnitt?

Mindestens drei; ein vierter Punkt dient zur Kontrolle.

Was ist der gefährliche Kreis?

Der Kreis durch die drei Festpunkte; liegt der Standpunkt darauf, ist die Lösung unbestimmt.

Müssen die Richtungen orientiert sein?

Nein, nur ihre Unterschiede zählen; die Orientierung berechnet der Rechner.

Was ist der Unterschied zum Vorwärtsschnitt?

Beim Vorwärtsschnitt wird von bekannten Punkten auf einen Neupunkt gemessen, beim Rückwärtsschnitt vom Neupunkt aus.

Wie kontrolliere ich das Ergebnis?

Mit der Richtung zu einem vierten Festpunkt, die zum berechneten Standpunkt passen muss.

Auch gesucht als:
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  • Standpunkt aus drei Punkten
  • Pothenot-Problem
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