Geodätische Hauptaufgaben berechnen

Die zwei Grundaufgaben der Vermessung

Fast jede Koordinatenberechnung im Vermessungswesen lässt sich auf zwei Grundaufgaben zurückführen. Bei der ersten Hauptaufgabe sind ein Punkt, ein Richtungswinkel und eine Strecke bekannt, gesucht ist der Neupunkt. Man spricht auch vom polaren Anhängen. Bei der zweiten Hauptaufgabe sind zwei Punkte gegeben, gesucht sind Richtungswinkel und Strecke dazwischen. Sie heißt auch Berechnung aus Koordinaten oder Polarisierung.

Das geodätische Koordinatensystem unterscheidet sich vom mathematischen: Die X-Achse zeigt nach Norden (Hochwert), die Y-Achse nach Osten (Rechtswert), und Winkel werden im Uhrzeigersinn von Nord gezählt. Deshalb steht in den Formeln beim Rechtswert der Sinus und beim Hochwert der Kosinus. In der deutschen Vermessung sind Gon üblich: Ein Vollkreis hat 400 gon, ein rechter Winkel 100 gon.

Bei der zweiten Aufgabe ist der Quadrant entscheidend. Der einfache Arkustangens liefert nur Werte zwischen −100 und 100 gon. Der Rechner wertet die Vorzeichen von ΔY und ΔX aus und gibt immer einen Richtungswinkel zwischen 0 und 400 gon beziehungsweise 0 und 360 Grad zurück, dazu die Gegenrichtung von B nach A.

$$1\,.\,\text{Hauptaufgabe}:\ Y_{B} = Y_{A} + s \cdot \text{sin t};\ X_{B} = X_{A} + s \cdot \text{cos t}\,.\,2\,.\,\text{Hauptaufgabe}:\ s = \sqrt{\Delta\,Y^{2} + \Delta\,X^{2}};\ t = \text{arctan}\,\left(\frac{\Delta\,Y}{\Delta\,X}\right)\quad \text{mit}\ \text{Quadrantenkorrektur}$$

Häufige Fragen

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