Rechnerwerk
Mathe & Formeln

Lage zweier Geraden im Raum

Geben Sie für beide Geraden einen Aufpunkt und einen Richtungsvektor ein. Der Rechner bestimmt die gegenseitige Lage und berechnet Schnittpunkt, Abstand oder Winkel.

Gerade g: x = P + s · u und Gerade h: x = Q + t · v
Ergebnis

Vier mögliche Lagen

Zwei Geraden in der Ebene schneiden sich oder sind parallel. Im dreidimensionalen Raum gibt es eine weitere Möglichkeit: Sie können aneinander vorbeilaufen, ohne parallel zu sein. Solche Geraden heißen windschief. Insgesamt unterscheidet man also identische, echt parallele, sich schneidende und windschiefe Geraden. Diese Untersuchung ist eine Standardaufgabe der analytischen Geometrie im Abitur.

Der Rechner prüft zuerst die Richtungsvektoren. Ist ihr Kreuzprodukt der Nullvektor, zeigen beide Geraden in dieselbe Richtung; dann sind sie parallel oder identisch, je nachdem, ob der Aufpunkt Q auf g liegt. Andernfalls entscheidet das Spatprodukt aus dem Verbindungsvektor Q − P und dem Kreuzprodukt: Ist es null, liegen beide Geraden in einer Ebene und schneiden sich.

Im Beispiel verläuft g durch P(1 | 2 | 0) in Richtung (1 | 0 | 1) und h durch Q(0 | 0 | 1) in Richtung (1 | 1 | 0). Die Geraden schneiden sich im Punkt S(2 | 2 | 1), der auf g beim Parameter s = 1 und auf h bei t = 2 liegt. Der Schnittwinkel beträgt 60 Grad.

Parallel: u×v=0; Schnitt: (Q−P)⋅(u×v)=0; windschiefer Abstand d=∣ (Q−P)⋅(u×v) ∣⋅v ∣∣ u; Winkel cos α=∣ u⋅v ∣∣ u ∣⋅∣ v ∣\text{Parallel}:\ u \times v = 0;\ \text{Schnitt}:\ \left(Q - P\right) \cdot \left(u \times v\right) = 0;\ \text{windschiefer Abstand d} = \frac{|\,\left(Q - P\right) \cdot \left(u \times v\right)\,| \cdot v\,|}{|\,u};\ \text{Winkel cos}\,\alpha = \frac{|\,u \cdot v\,|}{|\,u\,| \cdot |\,v\,|}

Beispiel: g: x = (1 | 2 | 0) + s · (1 | 0 | 1), h: x = (0 | 0 | 1) + t · (1 | 1 | 0). Kreuzprodukt u × v = (−1 | 1 | 1), Spatprodukt 0, also Schnitt im Punkt S(2 | 2 | 1) mit s = 1 und t = 2. Schnittwinkel: cos α = 1 ÷ 2, α = 60°.

Rechenweg und typische Fehler

In der Schule wird die Lage oft über ein Gleichungssystem bestimmt: Man setzt beide Geradengleichungen gleich und erhält drei Gleichungen mit zwei Unbekannten s und t. Hat das System eine Lösung, schneiden sich die Geraden; ist es widersprüchlich, sind sie windschief, sofern die Richtungen nicht parallel sind. Der Rechner kommt über das Kreuzprodukt zum selben Ergebnis, ohne Fallunterscheidungen beim Auflösen.

Ein häufiger Fehler ist, bei parallelen Richtungsvektoren nicht zu prüfen, ob die Geraden sogar identisch sind. Dafür reicht es, den Aufpunkt der einen Geraden in die andere einzusetzen. Ebenso wird leicht übersehen, dass Richtungsvektoren auch dann parallel sind, wenn sie unterschiedlich lang sind oder in Gegenrichtung zeigen, etwa (1 | 0 | 0) und (−2 | 0 | 0).

Der Abstand windschiefer Geraden ist die Länge des kürzesten Verbindungsstücks. Es steht auf beiden Geraden senkrecht und hat die Richtung des Kreuzprodukts u × v. Bei parallelen Geraden ist der Abstand an jeder Stelle gleich und entspricht dem Abstand eines beliebigen Punktes der einen Geraden zur anderen.

Den Abstand eines einzelnen Punktes zu einer Geraden berechnet der Abstand-Punkt-Gerade-Rechner, die Geradengleichung aus zwei Punkten der Geradengleichung-Rechner. Wie eine Gerade eine Ebene schneidet, zeigt der Rechner für Gerade und Ebene.

Tipps und typische Fehler

Lage bestimmen.

  • Richtung: Zuerst prüfen.
  • Identisch: Punktprobe.
  • Spatprodukt: Schnitt.
  • Abstand: Kürzeste Strecke.

Weitere Rechner: Mathe & Formeln

Alle Rechner dieser Kategorie oder alle Rechner A–Z.

Häufige Fragen

Wann sind zwei Geraden windschief?

Wenn ihre Richtungsvektoren nicht parallel sind und sie sich trotzdem nicht schneiden.

Wie berechne ich den Schnittpunkt zweier Geraden im Raum?

Geradengleichungen gleichsetzen, nach s und t auflösen und einen Parameter in seine Gerade einsetzen.

Wie berechnet man den Abstand windschiefer Geraden?

Betrag des Spatprodukts aus Verbindungsvektor und Kreuzprodukt, geteilt durch die Länge des Kreuzprodukts.

Können sich Geraden im Raum ohne Schnittpunkt kreuzen?

Ja, solche Geraden heißen windschief.

Was zeigt das Kreuzprodukt der Richtungsvektoren?

Ist es der Nullvektor, sind die Geraden parallel oder identisch.

Auch gesucht als:
  • Lage zweier Geraden
  • windschiefe Geraden
  • Schnittpunkt Geraden Raum
  • Abstand windschiefer Geraden
  • Geraden parallel prüfen
  • Lagebeziehung Geraden

Alle Berechnungen erfolgen direkt in Ihrem Browser, Ihre Eingaben werden nicht übertragen oder gespeichert. Die Ergebnisse sind Orientierungswerte ohne Gewähr und ersetzen keine steuerliche, rechtliche oder finanzielle Beratung. Die Erklärtexte auf dieser Seite wurden mit KI erstellt. Letzte inhaltliche Änderung dieser Seite: . Mehr dazu: So entstehen und prüfen wir die Rechner.