Wo trifft die Gerade auf die Ebene?
Eine Gerade und eine Ebene im Raum können sich in genau einem Punkt schneiden, parallel zueinander verlaufen oder die Gerade liegt vollständig in der Ebene. Welcher Fall vorliegt, entscheidet das Skalarprodukt aus dem Normalenvektor der Ebene und dem Richtungsvektor der Geraden. Ist es null, steht die Gerade senkrecht auf dem Normalenvektor und kann die Ebene nicht durchstoßen.
Für den Schnittpunkt setzt man die Koordinaten der Geraden in die Koordinatenform der Ebene ein. Es entsteht eine lineare Gleichung mit der einzigen Unbekannten t. Ihre Lösung, eingesetzt in die Geradengleichung, liefert den Schnittpunkt. Der Rechner übernimmt diese Schritte und rechnet zusätzlich den Winkel aus, unter dem die Gerade die Ebene trifft.
Im Beispiel ist E: 2x − y + 2z = 4 und g verläuft durch P(1 | 1 | 1) in Richtung (1 | 2 | −1). Einsetzen ergibt 3 − 2t = 4, also t = −0,5. Der Schnittpunkt ist S(0,5 | 0 | 1,5). Die Gerade trifft die Ebene recht flach unter 15,79 Grad.
Winkel, Abstand und Sonderfälle
Der Winkel zwischen Gerade und Ebene wird mit dem Sinus berechnet, nicht mit dem Kosinus. Der Grund: Das Skalarprodukt liefert zunächst den Winkel zwischen Gerade und Normalenvektor. Der gesuchte Winkel zur Ebene ist dessen Ergänzung auf 90 Grad. Eine senkrecht stehende Gerade hat daher einen Schnittwinkel von 90 Grad, eine fast parallele einen Winkel nahe null.
Liegt die Ebene in Parameterform vor, berechnen Sie zuerst den Normalenvektor als Kreuzprodukt der beiden Spannvektoren und daraus die Koordinatenform. Den Wert d erhalten Sie, indem Sie den Aufpunkt der Ebene einsetzen. Der Ebenengleichung-Rechner übernimmt diese Umwandlung.
Verläuft die Gerade parallel zur Ebene, zeigt der Rechner den Abstand zwischen beiden. Er ist für alle Punkte der Geraden gleich und entspricht dem Abstand des Aufpunkts zur Ebene, berechnet mit der Hesseschen Normalform. Ist dieser Abstand null, liegt die Gerade in der Ebene, und jeder ihrer Punkte ist ein gemeinsamer Punkt.
Schnittaufgaben dieser Art sind die Grundlage für Spiegelungen an Ebenen, Schattenwürfe und Lotfußpunkte. Für den Lotfußpunkt eines Punktes Q verwenden Sie Q als Aufpunkt und den Normalenvektor als Richtung der Geraden. Den Abstand eines Punktes zur Ebene liefert auch der Abstand-Punkt-Ebene-Rechner, die Lage zweier Geraden der Rechner für Geraden im Raum.
Tipps und typische Fehler
Schnitt berechnen.
- Einsetzen: In Koordinatenform.
- Winkel: Mit Sinus.
- Parallel: n · u = 0.
- Lot: Normalenvektor.
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Häufige Fragen
Wie berechnet man den Schnittpunkt von Gerade und Ebene?
Geradengleichung in die Koordinatenform einsetzen, nach t auflösen und t in die Gerade einsetzen.
Warum nutzt man beim Schnittwinkel den Sinus?
Weil das Skalarprodukt den Winkel zum Normalenvektor liefert, der zur Ebene die Ergänzung auf 90 Grad ist.
Wann ist eine Gerade parallel zur Ebene?
Wenn das Skalarprodukt aus Normalenvektor und Richtungsvektor null ist.
Was ist ein Durchstoßpunkt?
Ein anderer Name für den Schnittpunkt einer Geraden mit einer Ebene.
Wie bestimme ich einen Lotfußpunkt?
Gerade durch den Punkt mit dem Normalenvektor als Richtung mit der Ebene schneiden.
- Schnittpunkt Gerade Ebene
- Durchstoßpunkt berechnen
- Schnittwinkel Gerade Ebene
- Gerade parallel Ebene
- Gerade liegt in Ebene
- Lage Gerade Ebene
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