Die Grundgleichung der Raumfahrt
Eine Rakete beschleunigt, indem sie Masse mit hoher Geschwindigkeit nach hinten ausstößt. Konstantin Ziolkowski leitete 1903 daraus die Gleichung ab, die bis heute jede Missionsplanung bestimmt: Die erreichbare Geschwindigkeitsänderung Δv hängt nur von der Ausströmgeschwindigkeit und vom Verhältnis zwischen Start- und Endmasse ab, nicht von der Brenndauer.
Die Ausströmgeschwindigkeit wird meist als spezifischer Impuls in Sekunden angegeben. Multipliziert mit der Normfallbeschleunigung g₀ = 9,80665 m/s² ergibt sich die effektive Ausströmgeschwindigkeit. Ein Triebwerk mit 300 Sekunden stößt die Gase also mit rund 2.942 m/s aus. Wasserstoff und Sauerstoff erreichen im Vakuum etwa 450 Sekunden.
Der Logarithmus in der Gleichung ist der Grund für den Bau mehrstufiger Raketen. Um das Δv zu verdoppeln, muss das Massenverhältnis quadriert werden. Wer leere Tanks abwirft, muss sie nicht weiter beschleunigen. Der Rechner berechnet jede Stufe so, dass sie beim Zünden die Nutzlast und alle oberen Stufen mitträgt.
Δv = Isp · g₀ · ln(m₀ / m_leer) | m₀ = Nutzlast + obere Stufen + Treibstoff + Leermasse der Stufe | g₀ = 9,80665 m/s²
Ideales Δv und reale Verluste
Die Gleichung liefert das ideale Δv im leeren Raum. Beim Start von der Erde gehen Anteile durch die Schwerkraft verloren, weil die Rakete anfangs gegen die Erdanziehung steigt, statt waagerecht zu beschleunigen. Hinzu kommen Luftwiderstand und Steuerungsverluste. Für eine niedrige Erdumlaufbahn mit rund 7,7 km/s Bahngeschwindigkeit sind deshalb insgesamt etwa 9,3 bis 10 km/s Δv nötig.
Der spezifische Impuls eines Triebwerks ist am Boden niedriger als im Vakuum, weil der Umgebungsdruck den Abgasstrahl bremst. Für eine erste Stufe, die in dichter Atmosphäre startet, sollten Sie einen Mittelwert zwischen Boden- und Vakuumwert verwenden. Die Angaben der Hersteller nennen meist beide Werte.
Die Leermasse umfasst Tanks, Triebwerke, Struktur und Restmengen, die nicht verbrannt werden können. Bei modernen Trägern liegt sie bei vier bis zehn Prozent der Stufenmasse. Schon kleine Änderungen wirken stark: Eine leichtere Oberstufe verbessert das Endergebnis mehr als eine gleich große Einsparung in der ersten Stufe, weil die Oberstufe von allen unteren Stufen mitbeschleunigt wird.
Welches Δv eine bestimmte Mission erfordert, zeigt für Bahnwechsel der Hohmann-Transfer-Rechner. Wie schnell eine Rakete sein muss, um einen Himmelskörper ganz zu verlassen, berechnet der Fluchtgeschwindigkeit-Rechner. Die hier ermittelten Werte sind physikalische Idealwerte zum Lernen und Abschätzen, keine Auslegung eines realen Fluggeräts.
Tipps und typische Fehler
Raketen auslegen.
- Isp: Vakuum oder Boden.
- Leermasse: Ehrlich ansetzen.
- Oberstufe: Leicht bauen.
- Verluste: Aufschlagen.
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Häufige Fragen
Warum haben Raketen mehrere Stufen?
Weil leere Tanks und Triebwerke abgeworfen werden und die restliche Rakete dadurch mit weniger Masse weiterbeschleunigt.
Was bedeutet ein spezifischer Impuls von 300 Sekunden?
Das Triebwerk stößt die Gase mit rund 2.942 m/s aus; je höher der Wert, desto sparsamer ist es.
Warum braucht man mehr Δv, als die Bahngeschwindigkeit beträgt?
Schwerkraftverluste beim Aufstieg, Luftwiderstand und Steuerung kosten zusammen etwa 1,5 bis 2 km/s.
Was ist das Massenverhältnis?
Startmasse geteilt durch Masse bei Brennschluss.
Welchen spezifischen Impuls haben Ionentriebwerke?
Mehrere tausend Sekunden, bei allerdings sehr kleinem Schub.
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