Was das dritte Keplersche Gesetz aussagt
Johannes Kepler fand Anfang des 17. Jahrhunderts aus den Beobachtungsdaten Tycho Brahes heraus, dass die Quadrate der Umlaufzeiten der Planeten sich wie die dritten Potenzen ihrer mittleren Abstände zur Sonne verhalten. Isaac Newton konnte das Gesetz später aus seiner Gravitationstheorie herleiten und um die Masse des Zentralkörpers ergänzen. In dieser Form gilt es für jeden Körper, der einen deutlich schwereren umkreist: Planeten um die Sonne, Monde um Jupiter, Satelliten um die Erde.
Der Rechner nutzt dafür das Produkt aus Gravitationskonstante und Masse, den sogenannten Gravitationsparameter GM. Dieser Wert ist für Sonne, Erde, Jupiter und Mond aus Bahnbeobachtungen sehr genau bekannt, deutlich genauer als die Masse allein. Sie wählen den Zentralkörper, geben den Bahnradius oder die Umlaufzeit ein und erhalten die jeweils andere Größe.
Bei elliptischen Bahnen setzen Sie statt des Radius die große Halbachse ein, also den halben längsten Durchmesser der Ellipse. Die Umlaufzeit hängt nur von ihr ab, nicht von der Form der Ellipse. Die angezeigte Bahngeschwindigkeit ist dagegen ein Mittelwert, der für eine Kreisbahn exakt stimmt.
Satelliten, Monde und Grenzen der Rechnung
Mit dem Zentralkörper Erde lässt sich die Höhe eines geostationären Satelliten bestimmen. Er muss genau einmal pro Sterntag umlaufen, das sind 0,99727 Tage oder 23 Stunden und 56 Minuten. Der Rechner liefert dafür eine große Halbachse von 42.164 km. Zieht man den Äquatorradius der Erde von 6.378 km ab, bleiben rund 35.786 km Höhe über der Oberfläche. Für die Internationale Raumstation in etwa 420 km Höhe tragen Sie 6.798 km ein und erhalten knapp 93 Minuten Umlaufzeit.
Der Rechner vernachlässigt die Masse des umlaufenden Körpers. Für Satelliten und Planeten ist das unerheblich, beim Erde-Mond-System macht es dagegen gut ein Prozent aus, weil der Mond etwa 1/81 der Erdmasse hat. Genau genommen umkreisen beide ihren gemeinsamen Schwerpunkt.
Ebenso unberücksichtigt bleiben Störungen durch andere Himmelskörper, die Abplattung der Erde und bei niedrigen Satelliten die Reibung der Hochatmosphäre. Für Schulaufgaben, Abschätzungen und das Verständnis von Bahnen reicht die Keplersche Form trotzdem fast immer aus; Bahnberechnungen in der Raumfahrt arbeiten mit aufwendigen numerischen Modellen.
Die Astronomische Einheit ist seit 2012 als exakt 149.597.870.700 Meter festgelegt. Eine Einheit für die Umlaufzeit müssen Sie nicht umrechnen: Das Ergebnis erscheint gleichzeitig in Tagen, Stunden und Jahren zu 365,25 Tagen. Für Entfernungen in Lichtjahren nutzen Sie den Lichtjahr-Umrechner.
Tipps und typische Fehler
Bahnen berechnen.
- Mittelpunkt: Radius ab Zentrum messen.
- Ellipse: Große Halbachse nehmen.
- Sterntag: 0,99727 Tage.
- AE: Für Planeten nutzen.
Weitere Rechner: Mathe & Formeln
Häufige Fragen
Wie berechne ich die Umlaufzeit eines Planeten?
Mit T = 2π · √(a³ ÷ GM), wobei a die große Halbachse und GM der Gravitationsparameter der Sonne ist.
In welcher Höhe fliegen geostationäre Satelliten?
In rund 35.786 km Höhe über dem Äquator, das entspricht einem Bahnradius von 42.164 km.
Gilt das Gesetz auch für Ellipsenbahnen?
Ja, die Umlaufzeit hängt nur von der großen Halbachse ab, nicht von der Exzentrizität.
Wie lange braucht die ISS für eine Erdumrundung?
Bei etwa 420 km Höhe knapp 93 Minuten.
Wer hat die Keplerschen Gesetze aufgestellt?
Johannes Kepler veröffentlichte das dritte Gesetz 1619.
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