Der sparsamste Weg zwischen zwei Bahnen
Ein Raumfahrzeug, das von einer niedrigen auf eine hohe Kreisbahn wechseln soll, braucht dafür Treibstoff. Walter Hohmann zeigte 1925, dass zwischen zwei Kreisbahnen in derselben Ebene eine halbe Ellipse der sparsamste Übergang mit zwei Triebwerksimpulsen ist. Der erste Impuls hebt die gegenüberliegende Bahnseite auf die Zielhöhe, der zweite rundet die Bahn dort wieder zur Kreisbahn ab.
Berechnet wird das mit der Vis-viva-Gleichung, die für jeden Punkt einer Keplerbahn die Geschwindigkeit aus dem Abstand zum Zentralkörper und der großen Halbachse liefert. Die Differenzen zwischen Kreisbahn- und Ellipsengeschwindigkeit sind die beiden nötigen Geschwindigkeitsänderungen Δv. Ihre Summe ist das Maß für den Treibstoffbedarf.
Die Transferzeit entspricht einer halben Umlaufzeit auf der Transferellipse. Sie hängt nach dem dritten Keplerschen Gesetz nur von der großen Halbachse und der Masse des Zentralkörpers ab. Für einen Flug zum Mars sind das gut acht Monate, für den Wechsel in die geostationäre Bahn etwas mehr als fünf Stunden.
v = √(μ / r) | v² = μ · (2/r − 1/a), a = (r₁ + r₂) / 2 | Δv₁ = v_P − v₁, Δv₂ = v₂ − v_A | t = π · √(a³ / μ)
Was der Rechner berücksichtigt und was nicht
Die Gravitationsparameter μ = G · M sind feste Werte: 398.600,4418 km³/s² für die Erde, 4.902,8 für den Mond, 42.828,37 für Mars und 132.712.440.018 für die Sonne. Sie sind deutlich genauer bekannt als Masse und Gravitationskonstante einzeln. Die Radien stammen aus den Referenzwerten der Internationalen Astronomischen Union und der NASA.
Das Modell setzt voraus, dass beide Bahnen kreisförmig sind und in derselben Ebene liegen. Für einen geostationären Satelliten, der etwa von Cape Canaveral aus startet, kommt in der Praxis eine Änderung der Bahnneigung hinzu, die zusätzlich mehrere hundert Meter pro Sekunde kostet. Diese Manöver werden oft mit dem zweiten Impuls kombiniert.
Für interplanetare Flüge rechnet der Rechner nur den heliozentrischen Teil zwischen den Planetenbahnen. Das Verlassen des Erdschwerefelds und das Einschwenken in eine Umlaufbahn um den Zielplaneten erfordern weitere Manöver. Außerdem stehen die Planeten nur in bestimmten Startfenstern günstig zueinander; für Mars wiederholt sich das etwa alle 26 Monate.
Bei sehr unterschiedlichen Bahnradien, etwa ab dem knapp zwölffachen Startradius, kann ein Übergang mit drei Impulsen über eine noch höhere Zwischenbahn sparsamer sein. Wie viel Treibstoff das berechnete Δv kostet, zeigt der Raketengleichung-Rechner, die nötige Geschwindigkeit zum Verlassen eines Himmelskörpers der Fluchtgeschwindigkeit-Rechner.
Tipps und typische Fehler
Bahnen planen.
- Ebene: Gleiche Neigung.
- Radius: Vom Mittelpunkt.
- Fenster: Startzeit wählen.
- Reserve: Δv einplanen.
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Häufige Fragen
Warum ist der Hohmann-Transfer so sparsam?
Beide Impulse erfolgen tangential an den Stellen größter Wirkung, am erdnächsten und am erdfernsten Punkt der Ellipse.
Wie lange dauert ein Hohmann-Flug zum Mars?
Rund 259 Tage, also gut achteinhalb Monate.
Funktioniert die Rechnung auch für den Abstieg auf eine niedrigere Bahn?
Ja, dann wird zweimal gebremst; der Rechner gibt die Beträge der beiden Geschwindigkeitsänderungen an.
Was ist ein bi-elliptischer Transfer?
Ein Übergang mit drei Impulsen über eine höhere Zwischenbahn, der bei sehr großen Radienverhältnissen sparsamer sein kann.
Was ist die geostationäre Bahn?
Eine Kreisbahn in 35.786 km Höhe über dem Äquator, auf der ein Satellit mit der Erde mitläuft.
- Hohmann Transfer berechnen
- Delta v berechnen
- Bahnwechsel Satellit
- GTO Delta v
- Transferbahn Mars
- Vis-viva Gleichung
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