Vier Gleichungen, vier Unbekannte
Lineare Gleichungssysteme mit vier Unbekannten tauchen in der Oberstufe, im Studium und in technischen Anwendungen auf, etwa bei der Bestimmung eines Polynoms dritten Grades durch vier Punkte, bei Mischungs- und Netzwerkaufgaben oder bei Kräftegleichgewichten. Von Hand ist die Rechnung lang und fehleranfällig. Der Rechner löst das System in einem Schritt und zeigt zusätzlich die Determinante.
Er arbeitet mit dem Gauß-Verfahren. Die Gleichungen werden so umgeformt, dass unterhalb der Diagonalen nur Nullen stehen. Dabei sucht der Rechner in jeder Spalte den betragsgrößten Eintrag als Pivotelement, weil das Rundungsfehler klein hält. Anschließend werden die Unbekannten von der letzten Gleichung aufwärts durch Einsetzen bestimmt.
Im voreingestellten Beispiel lauten die Gleichungen 2x1 + x2 − x3 + x4 = 5, x1 + 3x2 + 2x3 − x4 = 9, 3x1 − x2 + x3 + 2x4 = 12 und x1 + x2 + x3 + x4 = 10. Die Lösung ist x1 = 1, x2 = 2, x3 = 3 und x4 = 4, die Determinante beträgt 25.
Wann ein System keine eindeutige Lösung hat
Ist die Determinante der Koeffizientenmatrix ungleich null, gibt es genau eine Lösung. Ist sie null, sind die Gleichungen linear abhängig: Mindestens eine Gleichung lässt sich aus den anderen zusammensetzen. Dann entscheidet der Vergleich der Ränge. Ist der Rang der erweiterten Matrix größer, widersprechen sich die Gleichungen, und es gibt keine Lösung.
Sind beide Ränge gleich, aber kleiner als vier, hat das System unendlich viele Lösungen. Die Zahl der freien Parameter ist vier minus Rang. Der Rechner gibt in diesem Fall die Ränge aus. Um die Lösungsmenge in Parameterform aufzuschreiben, setzen Sie eine oder mehrere Unbekannte als Parameter und lösen das verbleibende kleinere System.
Ein typischer Anwendungsfall ist die Steckbriefaufgabe: Gesucht ist ein Polynom f(x) = ax³ + bx² + cx + d durch vier gegebene Punkte. Jeder Punkt liefert eine Gleichung in a, b, c und d. Setzen Sie die x-Werte als Potenzen in die Koeffizientenfelder und die y-Werte als rechte Seite ein. Die Lösung sind direkt die gesuchten Koeffizienten.
Bei sehr unterschiedlich großen Koeffizienten können Rundungsfehler auftreten; prüfen Sie das Ergebnis dann durch Einsetzen. Für kleinere Systeme gibt es den Gleichungssystem-2×2-Rechner und den Gleichungssystem-3×3-Rechner, die Determinante einzelner Matrizen berechnet der Determinanten-Rechner.
Tipps und typische Fehler
Systeme lösen.
- Probe: Einsetzen.
- Determinante: Null prüfen.
- Rang: Vergleichen.
- Steckbrief: Vier Punkte.
Weitere Rechner: Mathe & Formeln
Häufige Fragen
Wie löse ich ein Gleichungssystem mit vier Unbekannten?
Mit dem Gauß-Verfahren: auf Stufenform bringen, dann von unten nach oben einsetzen.
Was bedeutet Determinante null?
Die Gleichungen sind linear abhängig; es gibt keine oder unendlich viele Lösungen.
Kann ich damit eine Steckbriefaufgabe lösen?
Ja, vier Punkte eines Polynoms dritten Grades ergeben genau ein 4×4-System.
Was ist die Spaltenpivotsuche?
Man wählt in jeder Spalte den betragsgrößten Eintrag als Pivot, um Rundungsfehler zu verringern.
Wie mache ich die Probe?
Die Lösung in alle vier Gleichungen einsetzen und die rechten Seiten vergleichen.
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