Zahlen als Kettenbruch darstellen
Ein Kettenbruch schreibt eine Zahl als ganze Zahl plus einen Bruch, dessen Nenner wieder eine ganze Zahl plus ein Bruch ist, und so weiter. Kurz notiert man nur die ganzen Zahlen in eckigen Klammern, etwa [4; 2, 6, 7] für 415/93. Rationale Zahlen haben immer einen endlichen Kettenbruch, irrationale Zahlen einen unendlichen.
Die Entwicklung funktioniert wie der euklidische Algorithmus: Man nimmt den ganzzahligen Anteil, bildet den Kehrwert des Rests und wiederholt das. Bei 415/93 passt die 93 viermal in 415, Rest 43. Dann passt 43 zweimal in 93, Rest 7, danach 7 sechsmal in 43, Rest 1, und schließlich 1 siebenmal in 7. Das ergibt [4; 2, 6, 7].
Bricht man die Entwicklung früher ab, erhält man Näherungsbrüche. Sie sind die besten Annäherungen an die Zahl, die mit einem Nenner dieser Größe möglich sind. Für die Kreiszahl π ergeben sich 3, 22/7, 333/106, 355/113 und 103993/33102. Schon 355/113 stimmt auf sechs Nachkommastellen mit π überein.
Wofür Kettenbrüche nützlich sind
Kettenbrüche helfen immer dann, wenn eine Kommazahl durch ein einfaches Verhältnis ganzer Zahlen ersetzt werden soll. Beispiele sind Zahnradübersetzungen, bei denen nur bestimmte Zähnezahlen verfügbar sind, oder Kalender. Das tropische Jahr hat rund 365,2422 Tage; die Näherungsbrüche des Nachkommaanteils sind 1/4, 7/29 und 8/33, also ein Schalttag alle vier Jahre oder acht Schalttage in 33 Jahren.
Große Glieder im Kettenbruch zeigen, dass der vorherige Näherungsbruch besonders gut ist. Bei π folgt auf 355/113 das Glied 292, deshalb ist dieser Bruch so genau. Der goldene Schnitt hat dagegen nur Einsen, [1; 1, 1, 1, …], und lässt sich daher besonders schlecht durch Brüche annähern. Quadratwurzeln wie √2 = [1; 2, 2, 2, …] haben periodische Kettenbrüche.
Wenn Sie Zähler und Nenner als ganze Zahlen eingeben, rechnet der Rechner exakt mit dem euklidischen Algorithmus. Bei Dezimalzahlen arbeitet er mit Gleitkommazahlen; nach etwa zehn bis fünfzehn Gliedern können Rundungsfehler die weiteren Glieder verfälschen. Für Brüche wie 0,75 erkennt der Rechner das Ende der Entwicklung trotzdem zuverlässig und gibt [0; 1, 3] aus.
Negative Zahlen werden mit einem negativen ersten Glied dargestellt, alle weiteren Glieder sind positiv: −7/3 ergibt [−3; 1, 2]. Zum Kürzen und Umrechnen gewöhnlicher Brüche eignen sich der Bruchrechner und der Bruch-Dezimal-Rechner, den größten gemeinsamen Teiler, der im euklidischen Algorithmus steckt, zeigt der ggT-kgV-Rechner.
Tipps und typische Fehler
Brüche annähern.
- Ganzzahlig: Exakt rechnen.
- Großes Glied: Gute Näherung.
- Dezimal: Rundung beachten.
- Kalender: 8/33.
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Häufige Fragen
Wie berechnet man einen Kettenbruch?
Ganzzahligen Anteil abspalten, Kehrwert des Rests bilden und wiederholen, bis der Rest null ist oder genug Glieder vorliegen.
Was sind Näherungsbrüche?
Die Brüche, die beim Abbrechen des Kettenbruchs entstehen; sie sind die besten Annäherungen für ihre Nennergröße.
Warum ist 355/113 so genau für π?
Weil im Kettenbruch von π danach das große Glied 292 folgt.
Hat jede rationale Zahl einen endlichen Kettenbruch?
Ja, die Entwicklung bricht nach endlich vielen Schritten ab.
Welche Zahl hat den einfachsten Kettenbruch?
Der goldene Schnitt mit lauter Einsen.
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