Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit?
Das Geburtstagsparadoxon überrascht: In einer Gruppe von nur 23 Personen haben mit gut 50 Prozent Wahrscheinlichkeit zwei am selben Tag Geburtstag. Das wirkt unglaublich, weil man meist an die Chance denkt, dass jemand am eigenen Geburtstag Geburtstag hat. Es kommt aber auf jedes mögliche Paar an.
Der Rechner berechnet die Wahrscheinlichkeit für beliebige Gruppengrößen von 2 bis 365. Er rechnet mit 365 gleich wahrscheinlichen Tagen und ohne Schaltjahre. Zusätzlich nennt er die Gegenwahrscheinlichkeit, dass alle Geburtstage verschieden sind, und die Gruppengröße, ab der die Wahrscheinlichkeit über 50 oder über 99 Prozent liegt.
Bei 23 Personen sind es 50,7 Prozent, bei 57 Personen schon über 99 Prozent. Das Paradox hat Anwendungen in der Informatik, etwa bei Kollisionen von Hashwerten.
Warum es so überraschend ist
In einer Gruppe von 23 Personen gibt es 253 mögliche Paare. Jedes Paar hat eine Chance von 1 zu 365, ein Geburtstagspaar zu sein. Zusammen ergibt das erstaunlich viel. Genau wie beim Lotto oder bei Würfeln wächst die Zahl der Möglichkeiten viel schneller als die Gruppengröße.
Die Rechnung im Detail: Die erste Person hat irgendeinen Geburtstag, die zweite hat mit 364/365 einen anderen, die dritte mit 363/365 einen, der noch frei ist, und so weiter. Das Produkt dieser Wahrscheinlichkeiten ist die Chance, dass alle verschieden sind. Das Gegenereignis ist unser Ergebnis. Mehr dazu in der Kombinatorik.
Echte Geburtstage sind nicht gleich verteilt: Im Herbst gibt es mehr Geburten als im Frühjahr, und der 29. Februar ist selten. Die tatsächliche Wahrscheinlichkeit liegt daher etwas höher. Das Kombinatorik-Prinzip dahinter erklärt der Kombinatorik-Rechner.
Auch bei Fußballspielen funktioniert die Probe: Auf dem Platz stehen 22 Spieler und der Schiedsrichter, also 23 Personen. Probieren Sie es bei der nächsten Gelegenheit aus. Die Ergebnisse streuen, aber im Mittel stimmt die Rechnung.
In der Kryptografie spielt das Paradoxon eine Rolle: Um eine Kollision bei einem Hashwert mit n Bit zu finden, genügen etwa 2 hoch n halbe Versuche statt 2 hoch n. Deshalb müssen Hashfunktionen ausreichend lang sein. Ein Beispiel dafür, wie Mathematik Alltag und Sicherheit verbindet.
Tipps und typische Fehler
Zufall verstehen.
- Paare: Zählen.
- Gegenereignis: Rechnen.
- Verteilung: Nicht gleich.
- Hash: Kollisionen.
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Häufige Fragen
Warum so wenige Personen?
Weil es viele mögliche Paare gibt, bei 23 Personen 253.
Zählen Schaltjahre?
Nein, der Rechner nimmt 365 Tage an.
Ab wann ist es fast sicher?
Ab etwa 57 Personen über 99 Prozent.
Warum reichen 23 Personen?
Weil es 253 mögliche Paare gibt.
Gilt das mit Schaltjahren?
Etwas anders, kaum relevant.
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