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Mathe & Statistik

Fourierreihe von Rechteck, Dreieck und Sägezahn berechnen

Wählen Sie eine periodische Signalform, Amplitude, Periodendauer und die höchste Ordnung. Der Rechner liefert die Fourier-Koeffizienten, die Teilsumme an einer frei wählbaren Stelle und den Anteil der Signalleistung, den die Teilsumme bereits erfasst.

Signal und Ordnung
Bis zu welchem n die Reihe summiert wird (1 bis 500).
Zeitpunkt, an dem Teilsumme und Funktion verglichen werden.
Ergebnis

Was eine Fourierreihe leistet

Jede periodische Funktion mit Periode T, die stückweise glatt ist, lässt sich als Summe von Sinus- und Kosinusschwingungen schreiben. Die Grundschwingung hat die Frequenz 1/T, alle weiteren Glieder sind ganzzahlige Vielfache davon, die Harmonischen. Wie stark jede Harmonische beteiligt ist, sagen die Fourier-Koeffizienten an und bn. Der Rechner nutzt die geschlossenen Formeln für drei Standardsignale, wie sie in Lehrbüchern wie Papula, Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler, oder im Bronstein tabelliert sind.

Rechteck und Sägezahn sind ungerade Funktionen, deshalb verschwinden alle Kosinusanteile und es bleiben nur Sinusglieder bn. Das symmetrische Dreieck mit der Spitze bei t = 0 ist gerade und besteht nur aus Kosinusgliedern an. Bei Rechteck und Dreieck tragen außerdem nur die ungeraden Ordnungen bei, beim Sägezahn alle Ordnungen mit wechselndem Vorzeichen. Ein Gleichanteil a0 tritt bei allen drei Formen nicht auf, weil sie symmetrisch um null schwingen.

Aus den Koeffizienten berechnet der Rechner die Teilsumme SN(t) bis zur gewählten Ordnung und vergleicht sie mit dem exakten Funktionswert. Zusätzlich zeigt er nach der Parsevalschen Gleichung, welcher Anteil der mittleren Signalleistung in den berücksichtigten Harmonischen steckt. So lässt sich abschätzen, wie viele Glieder für eine bestimmte Genauigkeit nötig sind.

Rechteck: bn=4 A / (n π)fu¨r ungerade n; Dreieck: an=8 A / (n2 π2)fu¨r ungerade n; Sa¨gezahn: bn=(−1)n+1⋅2 A / (n π); SN (t)=∑ bn sin (n ω t) bzw . ∑ an cos (n ω t)mit ω=2 π / T\text{Rechteck}:\ b_{n} = 4\,A\,/\,\left(n\,\pi\right)\quad \text{für}\ \text{ungerade n};\ \text{Dreieck}:\ a_{n} = 8\,A\,/\,\left(n^{2}\,\pi^{2}\right)\quad \text{für}\ \text{ungerade n};\ \text{Sägezahn}:\ b_{n} = \left(-1\right)^{n + 1} \cdot 2\,A\,/\,\left(n\,\pi\right);\ S_{N}\,\left(t\right) = \sum\,b_{n}\,\text{sin}\,\left(n\,\omega\,t\right)\,\text{bzw}\,.\,\sum\,a_{n}\,\text{cos}\,\left(n\,\omega\,t\right)\quad \text{mit}\ \omega = 2\,\pi\,/\,T

Beispiel: Rechteck mit A = 1 und T = 1 s, Ordnung N = 9, Auswertestelle t = 0,25 s. Die Koeffizienten lauten b1 = 1,2732, b3 = 0,4244, b5 = 0,2546, b7 = 0,1819 und b9 = 0,1415. Die Teilsumme ergibt 1,0631, der exakte Wert ist 1, die Abweichung also 0,0631. Die fünf Glieder erfassen 95,96 % der Signalleistung.

Konvergenz, Gibbs-Phänomen und Spektrum

Wie schnell eine Fourierreihe konvergiert, hängt von der Glattheit der Funktion ab. Das Dreieck ist stetig und hat nur Knicke, seine Koeffizienten fallen mit 1/n². Schon wenige Glieder geben die Form sehr gut wieder, mit N = 9 werden über 99,9 % der Leistung erfasst. Rechteck und Sägezahn haben Sprungstellen, ihre Koeffizienten fallen nur mit 1/n, und die Reihe konvergiert entsprechend langsamer.

In der Nähe einer Sprungstelle schießt jede Teilsumme über den Funktionswert hinaus. Dieser Überschwinger beträgt beim Rechteck etwa 9 % der Sprunghöhe und verschwindet auch bei sehr großem N nicht, er rückt nur näher an den Sprung heran. Das ist das Gibbs-Phänomen. Genau an der Sprungstelle selbst konvergiert die Reihe gegen den Mittelwert aus linkem und rechtem Grenzwert, hier also gegen null.

Die Beträge der Koeffizienten bilden das Amplitudenspektrum. In der Messtechnik und Elektrotechnik zeigt es, welche Oberschwingungen ein Signal enthält. Ein Rechtecksignal mit 1 kHz hat Anteile bei 3, 5 und 7 kHz, deren Amplituden ein Drittel, ein Fünftel und ein Siebtel der Grundschwingung betragen. Filter, die diese Frequenzen dämpfen, runden das Rechteck ab, was sich mit der Teilsumme gut nachvollziehen lässt.

Die Parsevalsche Gleichung verbindet Zeit- und Frequenzbereich: Die mittlere Leistung eines Signals ist gleich der Summe der Leistungen seiner Harmonischen, also der Summe der halben Koeffizientenquadrate. Für das Rechteck beträgt sie A², für Dreieck und Sägezahn A²/3. Der Rechner setzt die erfasste Leistung ins Verhältnis zu diesem Gesamtwert. Für Signale mit Gleichanteil oder anderer Phasenlage verschieben sich die Koeffizienten entsprechend, die Beträge bleiben gleich.

Tipps und typische Fehler

Reihen sinnvoll nutzen.

  • Symmetrie: Spart Rechnung.
  • Sprünge: Langsame Konvergenz.
  • Parseval: Zur Kontrolle.
  • Phase: Startpunkt beachten.

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Häufige Fragen

Warum hat das Rechtecksignal nur ungerade Harmonische?

Weil es halbwellensymmetrisch ist: Die zweite Halbperiode ist das Spiegelbild der ersten. Bei solchen Funktionen heben sich alle geraden Ordnungen auf.

Wie viele Glieder braucht man für eine gute Näherung?

Das hängt von der Form ab. Beim Dreieck genügen wenige Glieder, bei Rechteck und Sägezahn braucht man deutlich mehr, und an Sprungstellen bleibt der Überschwinger von rund 9 % bestehen.

Was bedeutet der erfasste Leistungsanteil?

Er gibt nach Parseval an, wie viel Prozent der mittleren Signalleistung in den Harmonischen bis zur Ordnung N stecken. Der Rest verteilt sich auf höhere Ordnungen.

Was ist die Grundfrequenz?

Der Kehrwert der Periodendauer, f0 = 1/T. Alle Harmonischen sind ganzzahlige Vielfache davon.

Was ist eine Harmonische?

Eine Teilschwingung, deren Frequenz ein ganzzahliges Vielfaches der Grundfrequenz ist. Die dritte Harmonische schwingt dreimal so schnell.

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