Was die diskrete Fourier-Transformation berechnet
Die diskrete Fourier-Transformation, kurz DFT, zerlegt eine endliche Folge von N Abtastwerten in N komplexe Schwingungsanteile. Jeder Koeffizient Xk gibt an, wie stark und mit welcher Phasenlage eine Schwingung mit k Perioden innerhalb des Messfensters in den Daten enthalten ist. Mit der Abtastrate fs gehört zu Xk die Frequenz k · fs/N. Die DFT ist damit das rechnerische Gegenstück zur Fourierreihe für abgetastete Signale.
Der Rechner verwendet die in Technik und Software übliche Definition ohne Normierungsfaktor, wie sie etwa bei Oppenheim und Schafer, Zeitdiskrete Signalverarbeitung, steht und in gängigen Programmbibliotheken umgesetzt ist. Der Koeffizient X0 ist die Summe aller Werte, geteilt durch N ergibt er den Mittelwert, den Gleichanteil. Andere Konventionen teilen schon bei der Hintransformation durch N oder durch √N, die Beträge unterscheiden sich dann um diesen Faktor.
Bei reellen Eingabewerten ist das Spektrum symmetrisch: XN−k ist konjugiert komplex zu Xk. Die obere Hälfte enthält also keine neue Information, sie entspricht den negativen Frequenzen. Aussagekräftig sind die Koeffizienten bis k = N/2, das entspricht der Nyquist-Frequenz fs/2. Der Rechner sucht die dominante Frequenz deshalb nur in diesem Bereich.
Frequenzauflösung, Leckeffekt und Praxis
Die Frequenzauflösung beträgt fs/N. Bei 8 Werten und 8 Hz Abtastrate liegen die Frequenzen im Abstand von 1 Hz. Eine feinere Auflösung erhält man nur durch ein längeres Messfenster, nicht durch eine höhere Abtastrate. Liegt die Signalfrequenz genau auf einer dieser Stützstellen, erscheint sie als einzelne Linie, wie im Beispiel. Andernfalls verteilt sich ihre Energie auf benachbarte Koeffizienten.
Dieses Verschmieren heißt Leckeffekt. Es entsteht, weil die DFT die Folge stillschweigend als periodisch fortgesetzt behandelt. Passt keine ganze Zahl von Perioden in das Fenster, entsteht an den Rändern ein Sprung. In der Praxis multipliziert man die Daten deshalb vor der Transformation mit einer Fensterfunktion wie dem Hann-Fenster. Das macht der Rechner nicht, Sie können gefensterte Werte aber direkt eingeben.
Frequenzen oberhalb von fs/2 lassen sich aus den Abtastwerten nicht von tieferen unterscheiden und erscheinen gespiegelt im Spektrum. Dieser Alias-Effekt folgt aus dem Abtasttheorem von Nyquist und Shannon. Messsysteme filtern das Signal deshalb vor der Abtastung mit einem Tiefpass. Die Parseval-Kontrolle des Rechners vergleicht die Summe der quadrierten Werte mit der Summe der quadrierten Beträge geteilt durch N, beide müssen übereinstimmen.
Für lange Folgen wird die DFT mit der schnellen Fourier-Transformation FFT berechnet, deren Aufwand mit N · log N statt mit N² wächst. Das Ergebnis ist dasselbe. Für die hier zulässigen 64 Werte genügt die direkte Summe völlig. Der Rechner eignet sich zum Nachvollziehen von Übungsaufgaben, zum Prüfen eigener Programme und zur schnellen Analyse kurzer Messreihen, etwa von Monatswerten mit saisonalem Muster.
Tipps und typische Fehler
Spektren lesen.
- Auflösung: fs/N.
- Fenster: Gegen Leckeffekt.
- Symmetrie: Bis N/2.
- Abtastung: Mehr als doppelt.
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Häufige Fragen
Was ist der Unterschied zwischen DFT und FFT?
Die FFT ist ein schneller Algorithmus zur Berechnung der DFT. Das Ergebnis ist identisch, nur der Rechenaufwand ist bei großen N viel kleiner.
Warum ist das Spektrum symmetrisch?
Bei reellen Werten ist X<sub>N−k</sub> konjugiert komplex zu X<sub>k</sub>. Die obere Hälfte entspricht negativen Frequenzen und enthält keine zusätzliche Information.
Wie bekomme ich die Amplitude aus dem Betrag eines Koeffizienten?
Für 0 < k < N/2 ist die Amplitude 2|X<sub>k</sub>|/N, beim Gleichanteil und bei k = N/2 genau |X<sub>k</sub>|/N.
Was ist die Nyquist-Frequenz?
Die halbe Abtastrate. Höhere Frequenzen lassen sich aus den Abtastwerten nicht eindeutig bestimmen.
Was bedeutet die Phase eines Koeffizienten?
Die zeitliche Verschiebung der Teilschwingung gegenüber einem Kosinus, angegeben als Winkel. Ein Sinus hat die Phase −90°.
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