Rechnerwerk
Mathe & Statistik

Fläche zwischen zwei Funktionen berechnen

Geben Sie die Koeffizienten der Funktionen f und g ein, höchstens dritten Grades. Der Rechner bestimmt die Schnittstellen, integriert stückweise und zeigt Gesamtfläche und Teilflächen.

Funktionen und Grenzen
Ergebnis

Fläche statt Integral

Die Fläche zwischen zwei Funktionsgraphen ist eine Standardaufgabe der Integralrechnung in Oberstufe und Studium. Man bildet die Differenzfunktion d(x) = f(x) − g(x) und integriert sie. Entscheidend ist der Betrag: Wechselt d das Vorzeichen, weil sich die Kurven schneiden, würden sich positive und negative Anteile sonst gegenseitig aufheben.

Deshalb sucht der Rechner zuerst alle Schnittstellen, also die Nullstellen der Differenzfunktion. Zwischen zwei benachbarten Schnittstellen hat d ein festes Vorzeichen. Dort wird mit der Stammfunktion integriert und der Betrag genommen. Die Summe dieser Teilflächen ist die gesuchte Fläche. Das orientierte Integral ohne Beträge zeigt der Rechner zum Vergleich.

Als Grenzen können Sie die äußeren Schnittstellen wählen, dann wird die gesamte eingeschlossene Fläche berechnet. Oder Sie geben ein eigenes Intervall vor, etwa wenn die Aufgabe eine Fläche zwischen x = 0 und x = 3 verlangt. Liegen Schnittstellen im Intervall, wird an ihnen automatisch geteilt.

A=∫ ∣ f (x)−g (x) ∣ dx=∑ ∣ D (xi+1)−D (xi) ∣mit D als Stammfunktion von f−gund den Schnittstellen xi als TeilungspunktenA = \int\,|\,f\,\left(x\right) - g\,\left(x\right)\,|\,\text{dx} = \sum\,|\,D\,\left(x_{i+1}\right) - D\,\left(x_{i}\right)\,|\quad \text{mit}\ \text{D als Stammfunktion von f} - g\quad \text{und}\ \text{den Schnittstellen x}_{i}\,\text{als Teilungspunkten}

Beispiel: f(x) = −x² + 4 und g(x) = x + 2: Differenz d(x) = −x² − x + 2 mit den Nullstellen −2 und 1. Stammfunktion D(x) = −x³/3 − x²/2 + 2x, D(1) = 7/6, D(−2) = −10/3. Fläche = 7/6 + 10/3 = 4,5 Flächeneinheiten. Im Intervall von −3 bis 2 kommen zwei Teilflächen von je 11/6 hinzu, zusammen 8,1667.

Typische Fehler und Kontrolle

Der häufigste Fehler ist, über Schnittstellen hinweg zu integrieren. Bei f(x) = x³ und g(x) = x ergibt das Integral von −1 bis 1 genau 0, obwohl zwei Flächen von je 0,25 eingeschlossen sind. Der Rechner teilt an jeder Schnittstelle und vermeidet diesen Fehler. Prüfen Sie Ihre Handrechnung, indem Sie die Teilflächen einzeln vergleichen.

Für die Schnittstellen löst der Rechner Gleichungen bis dritten Grades. Lineare und quadratische Fälle berechnet er exakt mit der Lösungsformel, bei kubischen Differenzen trennt er die Nullstellen über die Extremstellen und bestimmt sie mit dem Bisektionsverfahren auf viele Nachkommastellen genau. Berührungspunkte, an denen sich die Kurven nur berühren, werden ebenfalls erkannt.

Schneiden sich die Kurven nur einmal oder gar nicht, gibt es keine eingeschlossene Fläche. Dann brauchen Sie ein Intervall aus der Aufgabenstellung. Bei identischen Funktionen ist die Fläche null, der Rechner meldet diesen Fall. Achten Sie bei Sachaufgaben auf Einheiten: Sind x in Metern und y in Metern angegeben, ist die Fläche in Quadratmetern.

Die Schnittstellen allein berechnet der Nullstellen-Rechner, bestimmte Integrale einer Funktion der Integralrechner, und Extrempunkte sowie Wendepunkte zeigt der Kurvendiskussion-Rechner.

Tipps und typische Fehler

Flächen sicher berechnen.

  • Differenz: f − g bilden.
  • Schnittstellen: Teilen.
  • Betrag: Je Teil.
  • Skizze: Zur Kontrolle.

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Häufige Fragen

Wie berechne ich die Fläche zwischen zwei Graphen?

Differenzfunktion bilden, Schnittstellen bestimmen, zwischen ihnen integrieren und die Beträge addieren.

Warum ist mein Integral null, obwohl Fläche da ist?

Weil sich positive und negative Teile aufheben; an den Schnittstellen muss geteilt werden.

Was ist der Unterschied zwischen Fläche und orientiertem Integral?

Das orientierte Integral rechnet Flächen unterhalb negativ, die Fläche zählt alles positiv.

Welche Funktion steht oben?

Das ist egal, weil der Rechner den Betrag der Differenz integriert.

Geht das auch mit Parabeln?

Ja, der Rechner verarbeitet Polynome bis zum dritten Grad.

Auch gesucht als:
  • Fläche zwischen zwei Kurven
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